partie principale de — -^^^^ est égale a 7 ou

d'après (^4)î — "^ • ^'^ partie principale de [^p 11 — j)r)est -, • Le rapport est donc égal à — 3'-r. Voici donc la formule obtenue :

(•2) ■ ^■-, ^, = pr — ,p».

On verra bientôt, dans le présent Chapitre, que cette formule (12) renferme, pour ainsi dire, toute la théorie. Il n'existe pas de théorème d'additiuu pour la fonction ^; la proj)Osition (12) en lient lieu.

Arguments purement imaginaires.

Kn même temj)s (pir

considérons aussi

(i3) ^11 = :f{u; ,::rî. — ■i^i^.

comme nous avons déjà envisagé pu eL Z,i{. Rappelons qu'à l'égard de ^11 les constantes remplaçant -/], to, y/, w' sont

OJ = ilO.

au lieu de (9),

au Heu de (i i),

,. J*! (' -l-2/nto') Jim

Conformément à la relation d'homogénéité (5), nous prenons, pour définition de ci{iu) avec u réel, l'égalité

( I 5 ) ■y'(iu) = i ? ?/ .

La fonction o't^, dans laquelle ç ^= iu est purement imaginaire, satisfait, comme l'homogénéité le rend évident, aux relations déjà établies pour du; mais, dans les relations où figurent r,, co, ces constantes sont remplacées par Vj', to'. Ainsi, au lieu de (8), on a

/ ^^nl glnrq'i.i'+mu)') •

— ( 1 y« g2/rtîrj'(o'

Arguments complexes.

N'ayant pas de théorème d'addition pour i^ c'est à la formule (12) que nous devons demander la définition de d avec un argument complexe. Elle peut nous servir à définir le produit des deux imaginaires conjuguées ci[a -f- /a), a'(rt — i'a). Posons donc d'abord

':f( a -h ïol) a' (a — iot) = -ï^a j'^f a(j3 i% — pci).

Mais il faut maintenant une seconde relation; c'est à quoi va servir la fonction W du Chapitre précédent (V, ^8), et nous poserons en même temps

Ces deux relations donnent bien pour a'(« -f- iy.) et <i(a — /a) deux imaginaires conjuguées; leur produit, en effet, est réel, et leur rapport est une exponentielle à exposant purement imaginaire: