CHAPITRE VI. — L.V FONCTION -^ Il . IjS

c'est ce qui doil avoir lieu pour le produit et le rapport de deux quantités conjuguées pe'^, pe~'^'.

En multipliant membre à membre les deux égalités que nous venons décrire, nous aurons ■i'-[a -\- ït.). Extrayons la racine carrée aux deux membres, et précisons entièrement cette racine carrée; 3'(a + îa) sera alors bien défini. Nous aurons ensuite à reconnaître ses propriétés.

Il y aura lieu de distinguer ici le signe du discriminant, ce que nous n'avons pas eu à faire jusqu'à présent dans ce Chapitre.

j(a-\- ioL) = ( — 1)"+' i :fa :fi'x\/pa — p ioiW( a, ai.

Le radical y/j3rt — pi^-^ toujours réel puisque l'on a

pia<e3< ei< pa, est pris positivement.

Quand (( est un multiple de 2 0J ou ?'a un multiple de 'Ato', pa — pi y. est infiniment grand, n'a point de sens. Mais da ou -iiy. est alors nul. On prendra pour définition de cj(« + f a) la limite vers laquelle converge le second membre quand a ou iy. converge vers ce multiple de aco ou de aw'. On verra plus loin quelle; est cette limite.

Dans le cas du discriminant négatif, voici la formule analogue :

a' (a -i~ i'a) = ( — i)'' i :fa -^ i%\J pa — ptaT(a, -x)

( i. — i)"-^-'e' en ÇL-néral, ,(—!''' =

(20) / ( — ^ SI rt = (2/n -i- l)0J2,

= — I SI ( 2 « — I ) -^ < a < 2 « —=- j

= -I- I SI 2« — 7^ < a ^( 2/1 -i- l)-T^»

Le radical est [)ris positivement ; il est toujours réel, jniisque

l'on a

pin.< ei<pa.

Pour les valeurs de a et de /a, multiples de 2 Wo ou de ^w'^, mêmes observations qu'à la formule (19). On peut remarquer que;

le facteur ( — 1)"+' e' change son signe quand ia passe par un multiple de '2 m'., : la formule (20), par suite, dans le cas où a n'a pas la forme {ijn -\- 1)0)2, est identique à la formule (19). C'est seulement ce cas particulier a={2m -\- i)t02 qui oblige à séparer les formules propres au discriminant négatif.

Voilà donc C3'(rt -+- iy.) bien défini, sans aucune ambiguïté. Nous devons démontrer que cette fonction possède les propriétés déjà reconnues pour les cas où l'argument est ou purement imaginaire ou réel.

En premier lieu, l'équation d'homogénéité (5) est vérifiée; car

U' est homogène et du degré zéro, \/pa — pioL du degré — 1, et i(( dia du degré 2. Il faut cependant observer que nous supjiosons ainsi implicitement y/[j. positif, supposition sans laquelle il deviendrait nécessaire d'examiner le facteur ± 1 des formules (19), (20). Aussi allons-nous le faire à part pour le cas ^[ji. ^ — 1.

Imparité.

i" Dans la formule (19), nous jiouvons écrire

Donc au nombre ji se rapportant à a correspond le nombre — {n H- i) se rapportant à — a ; par conséquent, on a

:;'( — a — /a) ~ ( — i)'^i ^ ( — a) a'(— ia))/ pa — jd i'a W{ — a, — a).

Mais, d'après (4) et (V, 79),

a'( — rt) = — jrt, ji^ — i'a) = — jf'a, W( — a, — a) = ■*F(«, a).

Donc

r" ( — (i — ( a ) — ( — i)'H cf a 3' « a y j) « — p t a ^J" ( a, a ), u ( — a — t'a) = — ■ '^{a -r- j a).

2" Dans la formule (20), si l'on a

on en conclura

{in — 1 ) -T- <^ 'X <^ i. n -^ ,

~ in -^ < — X <,(—■! n -h i) —r^ t ^ i