CHAPITRE M, — LA FO-NCTION -^ Il

Avec rarj^iunenl a, on avait à considérer le nombre ii. el î' était égal à — 1 ; avec l'argument — a. ii est remplacé par — n. et s' dc- \ient égal à +1. On voit donc que ( — i)' est remplacé par ( — 1)''+' quand a est changé en — a.

11 n'est pas nécessaire d'examiner le second cas (jui se (h-diiil du précédent par l'échange de a et — a.

Il n'y a pas lieu non plus de considérer le cas

a = ( 2 »i -^ i ) too , V. ^^ ym -7-1) —= ■)

<lans lequel on a

))rt — pta = ^2. ^«i = o.

Uouc, en toute généralité,

3' ( « ; = jU.

Changement de u en iu.

La relation (i5) doit aussi être vérifiée. On peut l'écrire ainsi

(21) :iia -^ 17.) = i^i^y. — ia).

Nous venons de reconnaître comment se changent les nombres //, t' quand on change a en — a. Prenons les nombres analogues

m. z relativement à a et o>. au lieu de a et -.-> et faisons-v les mêmes

changements. Nous aurons, de cette manière, ô'i a — ia).

Ainsi : i" pour A << o, soit

2 «i 10 < a < 2 ( /?i -^- 1 ) co, nous aurons

3^(a — la) = ( — 1)'" i :ra ■^{ — ia) y/jl a — pi a ^Fi(a, — a).

D'ailleurs,

i-it^^ ■j ioL, 3'( — ia) ^= — ida,

pa = — pi a, pia= — pa

et, d'après (V, 79),

En conséquence,

cr(a — ia) = (— i)'«+i i :ra:ri7^pa — p ta ■

^iCx, a)

Divisons membre à membre l'égalité (19) et cette dernière, pour en déduire

±(^L±J^ = (-!)'«+« T(«, a) Ti(a, a).

Mais la relation (V, 85)

T( «, a ) Wi (7.,a) = (—i )'" ^" i

transforme précisément notre dernière égalité en celle (■n) qu'il fallait vérifier.

i*." Pour A -< G, soient

£ = — I si ( 2 /?t — I j too < « < a m C02,

£ = -i- i si 'iniM-i <i a 1 (1 ni -h 1)102-

Comme il a été expliqué au paragraphe précédent pour le changement du signe dans le second argument, on aura, conformément à la définition (20),

T'i 7. — ia) — ( — i)\>--*-^ ?a ^ ia /pa — pia Vi(a, — «), / { — i)"'î en général,

i -4-£ Sia=(2/l-r-i)— ;==•

De là se conclut, comme précédemment, par les égalités (22), (^3),

( ( — i)'""^":^:^' en général, ■fia -T- il) I ) / ^ /

:s'{oi— la) W(a,%)Wi{oL,o) ,

( ( — i)"i si i'a =(2/1 —1)102.

Dans chacun des trois cas, le second membre est précisément égal, d'après la relation (V, 87), à , • L'égalité (21) est donc pleinement prouvée.

Dérivée.

D'après les définitions (V, 5i. 78) de <!>(«, a) et de T(^7, a), on a

— log^'(a, a)= — - <I»(a,a)= -\^( a -\- ioL) -]- ^(ci — iy.)]. iJ'x -j. Ox 2 / - V /j