CHAPITRE VI. — LA FOXCTIOX -^K

On conclut donc aussi bien de (20) que de (19)

d{ia.) = i Urta — r(rt-^ta) — r(a— /a) ^" ^"^ . 1 •

' L ■ ' ■ pa — pi^i

Mais, suivant le théorème d'addition (V, 16a) pour la fonctiou ^.

iX.it -^ C(<7 — it) — = !!( a -^ ta).

pa — pl'J- Il reste donc simplement

\ous aurons semblablement, changeant a en a, a en — « et gz en — 0-3,

log j'(a — ia') = — Z(oL — ia).

d{ia)

i Oa

D'après (21), le premier membre équivaut à - — loga'(rt -^ i"a). Quant au second membre, il peut être écrit aussi - ^(a -r i'a) ;

— log3'(a-4-ia) = ::(« + «a),

Ainsi l'égalité (6) a lieu quand u est nue quantité complexe.

Addition des périodes.

Si, dans la définition (19) ou (20), on change « en (a -f- 210), deux des facteurs du second membre changent seuls : 1° le facteur da qui, d'après ('7), se reproduit multiplié par — e*r,(a+w)j 2° le facteur W(a, a) qui, d'après (V, 80), se reproduit multiplié par e^Va. Donc

(25) ^(a— i'a-r- 2w) = — :f{a-h ia)e20'a+'x+w)^

C'est la complète généralisation de la relation (7). On peut de même obtenir la relation analogue pour Taddilion de 2to' au moyen des formules (V, 84 et 86), ou encore déduire I. ' 12

de (2.5), par le même changement de lettres qu'au paragraphe précédent,

■no'\ 2rr/(a-irt+ — )

X — la H .— I = — J ( a — ia)e ^ ' ' ,

c'est-à-dire

(26) ::'(« + «a-r- 210') = — :f(a-\- ia)e-^"'"i'''' + '^ + «'',

géuéraHsalion de la formule (17), avec ni = i.

Addition de la période 2oj3(A ^o).

L'addition de la période too 4- '-'^ ^= loy-^ (A << o) exige un peu plus d'attention.

Tirons d'abord de la relation (12) avec arguments réels (elle n'est encore établie que pour ce cas ou celui des arguments purement imaginaires) une formule particubère, en supposant

OU, d'après (8),

Nous allons extraire la racine carrée, prise avec le signe plus. A cet effet, il faut observer que a'(wa + <^f-) est positif quand a est entre — ojo et -+- ojo, puis change de signe chaque fois que a passe par un multi])le impair de t02.

Au contraire, ia change de signe quand a passe par un multiple pair, et a le signe plus quand a se trouve compris entre zéro et 2CO2. Si donc, comme précédemment, on suppose

£ r^ — I quand {2m — i)w2 < « <! smojj,

E = H- i quand 2 m Wj < « ■< (2/« H- 1)0^2,

le quotient - — '-^-^ — a le même signe que t. Pour avoir le radical positif, news écrirons donc

/ 0\ / ., „ ^('Wj-t- «)

(28) VP« e2=£e-1a« ;;;;