CHAPITRE VI. — L.i FO.NCTION -^Ll. I

Semblablemcnt, en supposant

= I (|Uaiul ( 2/i — I ) -T^ 'J. ' 2.11 —1^ y

I quand 2/1— r" ^a -^ ( 'in -^ i j -^

on aura un radical positif si Ton prend

(3o) yJe^ — ui'j.= -Je

En second lieu, la formule d'addition de la demi-période

p{a — ojoj— e-y — e-2 — p( ix — w'j ; =

«2 — p t'^ nous donne

slpa — eiyje^—pix

et tous les radicaux sont pris là positivement. On obserse, à ce sujet, que ie-x — C\){^e-i — ^3) est le produit de deux imaginaires conjuguées, donc positif. Par le moyen de (a8) et (3o), nous avons de la sorte

v/,p ( a -^ oj.> ) — p(i-j.-\- oj 2 ) 7" ( 0)2 -;- « ) 7' ( to';, -^ i a) ypa — pi'a ja j i'j.

= 3" 0J2 ■ 7" co', sjie^ — ^1 j ( «2 — ^:i

Reprenons maintenant l'égalité (20), cliangeons-y a et iv. en (rt + 0^0) et (i'a -J- w!,), et soit v' le nombre rpii remplace alors v. Nous concluons

7* (^ a -f- 1 a -f- oj> -^ (o', )

3'(a H- ta) ^ ' 't*(«, t-)

Mais, d'après l'égalité (V, 88), le dernier rapport est égal à

î i e 'ï •) ' î' -t- ■'i •) " -+- ■'"i ■> '•> •> • Posons

C — 7" 0J2. 7' oj 2 v/( ^2 — Cl ){ei — ej ; t;'"' 2 f"^ 2 >

j8o première partie. — THÉORIE.

nous avons donc

Il nous reste à examiner le facteur de discontinuité ( — •i)^+'''£'. Prenons le cas général où a, a + coo ne sont pas multiples impairs de coo. On a, d'après (20), ( — i)''=( — i)"''"'^'^ désignant par /i', i'

les nombres analogues à n, s', mais relatifs à ( a-^ :^ j, on aura de

même ( — !)''' = ( — ij^'+'s". Le facteur qu'il faut examiner est donc ( — i)"+"'£''. Or ( — 1)'' change de signe quand ;a passe par un multiple impair deto... On a déjà remarqué que ( — i)"î' change de signe seulement quand i'a passe par un multiple pair; donc, de même, ( — i)" s" change de signe seulement quand (/a + 10!,) passe par un tel multiple, c'est-à-dire quand t'a passe par un multiple impair, exactement comme ( — i)"; donc le produit ne change jamais son signe et n'est pas discontinu. On voit d'ailleurs immédiatement qu'il est égal à + i .

Ceci observé, on peut facilement déterminer G en supposant, dans (3i),

par quoi le premier membre devient — i , et la formule (3i)

V changeant u en (?/ — 2to'^), on en déduit, par le moyen de (i^ ),

j ( ii -^ CO2 ^ (0 2 ) = — j u.e \

Ces deux égalités, conformément aux notations introduites (V, 3o), s'écrivent

(34) cr(î< -f- 2103) = — :;';;. e2'l3'«-i-w3',

(35) c'(i< — 2co,) = — y^i. e2';.i"+w,'.

Elles complètent l'analogie qui existe entre les périodes 210,, 1 toj (A < o) et les périodes 2co, 2w'( A ^ o).