Partie principale de J'(a -r- ta)= z' a% ,- ^(«j

D'après (\ , 83 j, ^r(a, a) a, pour partie j)rincipale, celle de -; donc

y/a-- (ooj lim ; — =1.

C'est la généralisation de l'égalité (10).

l8i PREMIÈRE PAUTir:. — THÉORIE.

Les formules (9) et (17) ont leui^s analogues (34) et (35) dans Je cas où le discriminant est négatif. Employons maintenant la notation 2co,, 2t0:j pour les périodes, quel que soit le signe de A. Nos deux formules sont donc

( j \ni,g2.iii,r,,{i/+m-i(ù,)

OÙ, l)icn entendu, l'argument 1/ est une quantité complexe quelconque. On peut réunir ces deux formules en une seule. Changeant, dans la seconde, u en 11-+- 2;?ï,w, et multipliant membre à mcndjre avec la première, nous aurons

Cj(U -^ 2OTi CO] -^ 2/??3t03 )

Mais Y, I to-i — ■r^:^ (o, est égal à -^ ? en sorte qu'on peut écrire cette formule ainsi

:= ( I yw,-f-lH7«3-i-i; gîr^ ti+u))^

s'il

Elle ne diffère de la formule (^), relative à la période aw, que par le signe du second membre; ce signe peut être plus. Mais cette circonstance se présente seulement quand w, et niz sont tous deux pairs, et alors w est une période. Ainsi, toutes les fois que d est une demi-période quelconque, on a toujours, pour l'addition de '>, û), une formide absolument semblable à (7). La constante r| est seulement remplacée par ~i^.

La formule générale (3-) montre que deux fonctions rf, dont les arguments diffèrent seulement j^ar une période, diffèrent ellesmêmes seulement par un facteur exponentiel du premier degré, (^c qu'il est essentiel d'observer, c'est que ce facteur est une fonction continue et ne contient aucun des signes ambigus dr i qui se présentent dans la définition de du. Au commencement de ce paragraphe, nous avons démontré que du^ i^a -{- iy.) est une fonction continue: i" quand y. tend vers zéro; 2° quand a tend