CHAPITRE VI. — LA FONCTION ^ II

vers zéro; 3" quand // = « -f- /a tend vers zéro. Il csl maintenant prouvé, au moyen de (3-), que ■j u = i {a -\- i y.) est continu: i" quand i'a converge vers une période; ;>," (juand a converge vers une période; 3" quand u converge vers une période; 4° quand (A étant négatif) a converge vers un multiple impair de (Oo, ou /a vers un multiple impair de to!,. Mais les formides (ic)) et (20) n'offrent aucune discontinuité <7/?/>r//"e/z/e, hormis celles qu'on vient dépasser en revue. Donc la fonction 'j u est toujours finie et continue; en outre, suivant (36) et (3-), elle a pour racines les périodes. Elle n'a pas d'autre racine, c'est ce qui résulte des définitions (19) et (20)011 l'on connaît les racines de tous les facteurs .aux seconds membres. Le facteur ^' n'a aucune racine, puisque, par définition, c'est une exponentielle e'^^, où 9 est réel.

Il reste encore à s'assurer que la fonction jU satisfait, dans tous les cas, à la relation (12). Maintenant que cette fonction nous est connue, nous pouvons lui appliquer, pour démontrer celte relation, la même démonstration, absolument, qui a été faite d'abord pour un argument réel. La relation (12) est donc exacte.

Dégénérescence de -^u.

Les formules (V, 32 et 33), cpii font connaître les dégénérescences de "C^u, donnent immédiatement les dégénérescences de du, |)our les arguments réels ou purement imaginaires d'abord, puis ])our les arguments cjuelconques. Il suffit d'appliquer les définitions de du. On trouve ainsi

•A CO . ~ Il -{ -— ) 2 tO . Tt « -^ II-

A = o, ^i > o, :f II ~ — SI II — fb ^ 2 w / — SI,-, — ^,+i';