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A = o, ffi <(>, a'U — ^^ - e 6V :;(o / ,

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l84 PREMIÈIIE PARTIE. — THÉORIE.

Lacune que présente le développement de :^it. Développée suivant les puissances croissantes de u-^\à fonction paire — présente une lacune au second terme, en sorte qu'on a

cju= u(i -i- a h'* -^ B u^ ^7- . . . ).

Cette propriété importante résulte immédiatement du développement de pu{iy,i). Soit, en effet, à supposer que cette lacune n'existe pas,

a' u = u {i — au- -î- A u'* + B u^ ~ . . . ) : il en résidte

Hit = = — -^ lau -^i \ A ■îa-)u^-^ . . . ,

j II II

pu = — H' u = - — 2 a -T- ( 6 «- — 1 2 A) ii- -i- . . . .

Mais le développement de pu (IV, 4) a 1'* forme suivante :

pu = — r -i i^- — ... ;

nous en concluons

( îo ) :fu—u{i— ~- a '* - - .

Au Chapitre IX, on apprendra à former rapidement tant de termes qu'on voudra dans ce développement.

Propriétés caractéristiques de :fu.

La nature et les propriétés de la fonction du se résument ainsi : c'est une fonction définie sans ambiguïté pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de u, toujours finie, impaire, ajant pour racines toutes les quantités ?. /??w, + 2/UO3, m et n étant des entiers; elle est développablc en la forme

1jU=u(It-Au'*-Bu^-t-... ),

avec une lacune du terme en u- dans la parenthèse, elle se reproduit multipliée par un facteur de la forme e''"+*, quand on ajoute