CHAPITRE VI. — L.V FONCTION '^ U . l

à li des multiples quelconques de 2(o, et 20)3; cllejouil eiilln de la propriété suivante, traduction de la relation (12),

(40 ■ ir; — zr, = ,-- loi,'^:;';^ 7— logr^p.

j-u:f-v du- di-

Ces éléments résument toute la théorie. Nous allons le montrer. Si Ton pose

du ° ■ ' du^ •' '

on reconnaît d abord, comme conséquences immédiates, la nature de ^u et de pu, la double périodicité de cette dernière. Les formules d'addition se concluent de (40' P^^ '^^^ conséquences, obtenues en dérivant par rapport à u et v :

p' Il

liu^ v)-^X(u— V)—'îZu

A U — V ) — iZ f =

pv — p U en dérivant de nouveau par raj^p^rl à u, on en déduit

P ( U -j- i>)— P ( Il — l>)

)ll pu pi>

Ou pu — pi> et, par conséquent,

p{u-{-i--)= ipu —

(Ju p u — p v

C'est une formule d'addition, mais dans laquelle figurent pu, p' u, p" u\ il faut pouvoir en faire disparaître pi' u et, pour cela, connaître la relation qui lie p';^ elpu. Or, en dérivant par rapport à (', on a de même

^^ ' •* Ovpu — pv

et, par conséquent,

<) pu — Wv 1) ])' u^ ^ ]V V

<}u pu — JU' '>r }t u — j)t^

Mettant à i)arl, dans le [)remler membrC; le lerine

Ou pu — pv~~ {^pu—JVf '

l86 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

on lui trouve son analogue, qui le détruit, dans le second membre, en sorte qu on peut écrire

d p' Il p" r p'- (•

du pii—pv pu — pi- (pu — pi-y

ou.enmellaul !)'// —. au lieu de — et divisant par (p;/ ^ — pr

•> d[pu) Ou ^ ^•' ''

p' u ri p' u p" V p'^'"

p u — ]) r f/( j) u ) p u — pv ( j5 « — p {•)- ( p u — ,p (• }■'

Intégrant les deux membres |)ar rapport à la variable pu. et désignant par a une constante encore inconnue, nous aurons

— = Upu ^ a)-, ^ ■ ^

\pu — pi-J ■ pu^pr (pu^pv)-

ou bien, en chassant le dénominateur,

P'-ii=- KP"-'Pv)-(p" ^ a)— ip'xi pu ~ pv)-^ p'U-.

Ici e est une arbitraire. On voit donc que p'-u est exprimable par un poljnôme du troisième degré en pu. Pour préciser ce poljnôme, on observera que l'une des propriétés de iu donne, ]iour ?/ infiniment petit, les développements

lu--

doù résulte que le terme en p'-u doit manquer dans le polynôme du troisième degré. Ainsi les propriétés, c]ue nous venons de résumer pour 'ju, conduisent non seulement aux formules d'addition, mais encore à la formule p'-u = ip^u — ^'^pff — .""s- Toute la théorie en découle donc avec la plus grande facilité.