CHAPITRE VI. — I.A FONCTION rT

Équation à trois termes.

La formule, que nous venons de reconnaître caraclérisliquc,

:j-a.j-b da- db- ' ' ' '

entraîne, ainsi qu'on l'a déjà reconnu pour un autre exemple entièrement analogue (IV, -îS), la conséquence

l (^{a^b ):f{a-^' b):f{c — d):ï{c -cl) (43) I -;- 3'(6 — <?) :f{b--c) 3'(a -- <5?) :;'(« - rf)

( -T- j (c — rt) j (c ^ rt) j (6 — d) :j{b-r'd) = o.

On obtient cette dernière, rappelons-le, en ajoutant membre à membre les produits deux à deux des termes de six équations semblables à l'équation (42); elle résulte de l'identité

Inversement la relation (4>) permet de conclure la précédente (42), moyennant la simple hypothèse d' o = i. Qu'on y suppose, à cet effet, d infiniment peu différent de c, on voit d'abord que i est une fonction impaire; car la première ligne représente une quantilé nulle, et les deux autres se réduisent ensemble à

a'( b ^ c) -jib -^ c) ■j{a -- c)\j(a — c)-^:f(c — r/)],

qui doit être nul. Ceci admis, l'hypothèse <:/ infiniment voisin de c donne une conséquence nouvelle si l'on égale à zéro la dérivée ])rise par rapport à rf et qu'on y fasse ensuite cl^=^c. Désignant par Cu la dérivée logarithmique de iu^ nous aurons ainsi

-^ 3'(è^c)3'(6-hc)3'(a — c):: (a -•-€){ ^Xia—c)-^' ^(«— c)J

ou bien

l88 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Faisant maintenant converger c vers zéro, on a

lim ^-^ — V = ~±r- = c a = -j—^ log3'a,

,. Uh -f- o— r:(6 — c^ cV- . - Iim ^^ — — ^- = -77T, \og:fb.

Donc

^^-a.-j^^b da- db-

Ainsi la Ijellc propriété qu'exprime la relation (4'^)r connue sous le nom dC équation à trois termes, caractérise la fonction 'i a et permet de remonter à la définition de pu. Nous ferons bientôt usage de ce fait si important (Chapitre Mil).

Les fonctions -^lU, 'i-iu, ^f^u.

Soient/?, q deux entiers, dont l'un au moins est impair, et posons

G) =^ poi -- q io' , '^ = Z' '^ -^ 7 '^' j

oj, ctj', r, , 7/, dans le cas A -< o, seront remplacés par to, , 0J3, r, , , r,,. La relation (3'j) devient ici

"* !! ^^ c jV'/ï-i-l) 7+l)g2r|'ît+à)) ^= g2r,(«+wî.

Par le changement de u en (u — • oj), on peut l'écrire

— — ; '- — e-'^i", e-''x" -^{iM^ u)~ eV^ j'(oj — u).

j" (^ OJ II)

Pour déduire de là une fonction dont la valeur correspondant à u-=o soit purement numérique, il convient de diviser par 3*0». Ainsi s'introduit la fonction

^[(ï) -^ II) - "i {G) — II)

■irj,u = e-V r = e'J' — ,

rr'io j^co

fonction paire, égale à -h i pour u = o. Il y a en tout trois fonctions différentes comprises dans cette définition: c'est ce que nous allons reconnaître.

Soit tô, une autre demi-période, déterminée par deux autres