CHAPITRE VI. — LA FONCTION -^ U

entiers/?, et ^j, mais/?, de même parité que/), q^ de même parité que q. Soient

P—Pi=ipi. q — q\^).qi,

ôii=PiM — <7,w'. Il ' piT, — qif,',

Ci — Wi — 2 W2 = îi PîO) — qi*-'^ '• '7, — ^1 = i7^2 ~ 'i-( Pi''^, -^ q-if,' '•

Ou axira

Le signe m a été mis pour ( — ijPi+'h.+P-.fu Faisant u = o, on a de même

c'a) = ±Z tU'Wi e2?i2(Wi+Wj).

Divisant membre à membre les deux dernières égalités, on obtient

D'ailleurs Donc

- r" ( lô -1- « ) . -^ ( ôj 1-^ U)

On voit donc que -jr^u ne dépend pas des valeurs absolues des deux nombres/), q^ mais seulement de leurs parités. Il va donc en tout trois fonctions ^y,Uj savoir

a*! Il = e-V =^ j-j,u

quand p est impair, q pair ;

■i ( co -^ co' -^ ?n

::' i oj — co )

quand p el q sont impairs ;

e-V"= :!.,ii

quand p est pair, q impair.

Ce sont trois fonctions paires, se réduisant à 1 unité pour u = o.

iqo PKEMIÈRE PARTIF. — THÉORIE.

Expression des quantités s/ pu — ea par les y'.

La formule suivante, déduite de (13) par la supposition

::' ( Gy -^ II) a' ( M — u) g-V* :ï(Cû -h u) e^i" tf ' w — a ) P^'^-P'" ^ ^û^:^. = ^^».a-^co '

peut être écrite

pu — p w

Convenons de désigner aussi par e^ l'une rpielconque des trois constantes e,, e.y, 63, avec le même choix de l'indice que pour ^a'^5 6t nous aurons, en extrayant la racine carrée

Les trois radicaux y/p?^ — e^, s'offrent donc comme dépourvus d'ambiguïté, avec un signe toujours déterminé.

Prenons, par exemple, le cas du discriminant positif, et supposons a réel. Alors 'i-^u et d-^ii ne deviennent jamais nuls; ces fonctions sont donc toujours positives, puisqu'elles sont égales à + 1 pour « := o.

Pour j| ?/, il y a, au contraire, les racines «i = (a/^i + ')^'^' ^^ sorte que d^u est positive entre — co et + (o, négative entre w et 3to, .... ()uant à -du^ cette fonction est positive entre zéro et 2to, négative entre — ibi et zéro, entre ato et 4^'^

Les racines carrées y/e, — 63, y/e^ — ■ e-i étant extraites positivement, nous aurons ainsi (Cliap. IL p. 4-0

sn(« /ei — ^3) = v/t-i— g;, ^

/ / \ "^xu \ ( Je» — 63

cn(i( \/e,— É?3J = \ hkkI A = —

-^« 1 V Al— ^3

llll(;4 V^g]— t'3) = ^;;^

Diverses expressions des quantités sje^ — e-i et v^^i — ^2 V^i— ^3. Considérons les trois radicaux y/pu — t'a, désormais dépourvus