CHAPITRE M. — LA FONCTION rT//. igS

est réelle et positive. C'est, au facteur it^i j)rès, ii {it). Comme 3*, est une fonction paire, ^\{it) est réelle; de plus positive, car elle l'est pour ^ = o, et ne s'annule pour aucune valeur réelle de t. En supposant il = m', on voit que 3*0/ est le produit d'une quantité positive par l'exponentielle e''*"'. Par suite, à un facteur positif près, le second membre de (45), abstraction faite du facteur y//', se réduit à une exponentielle dont l'exposant est

' ( r/'co" — 2r,u)' I = |[(Tf, -•- r/ j (co -^ to' j — 2r,to']

ït:

D ailleurs 7,co et r, co sont réels, donc e'' est réel et po-

sitif. Le second membre de (4^) est donc le produit d'un facteur

positif par \Ji et pare ^ . 11 est donc réel et positif si l'on prend

in y'f =; e '* .

Dans la troisième série, nous aurons de même

- r, Oi' wr -M .e-

et le signe du second membre est déterminé d'accord avec les formules précédentes et celles, qui donnent les racines carrées. Effectivement, si l'on multiplie membre à membre les relations (44), ('{6) et qu'on divise les deux membres par ceux de la relation (45), on obtient

'■jï -,11 1 , , ,

/ —r jW - (v,oj + r,'M — r,"o)")

Nous venons justement de prouver qu'on a

I / . , < „ If , , i- , /- ir. , ir.

-, ( r,w -r- Y, 10 — r, a> j = — t,0) H = — r, to — — -= — — r ix) •

L'exposant de e se trouve ainsi être — y/w, comme il convient. Les relations (44)? (45), (46) doivent ici être considérées comme nous fournissant l'expression des trois constantes

en fonclion de <?,, e^, e-^. Dans le Chap. VIII, nous les considérerons d'un point de vue justement opposé.

Ces mêmes relations entraînent une conséquence qu'il faut remarquer. Si l'on considère l'identité

(<'i — C2)(fi— t'a) (e^— e2){ei — e:i){e2— es) et les deux analogues, on conclut

{ei — e-ijiei—es) {e.2 — e3){e,— ei) {e^— ei){e3— e^) par conséquent,

(47) \^ -fM -hW - jW/ +\e - a^Lû I =0.

Les trois formules

ei — d v'^i — ^3

iiS) \l/e,-e,'y/'e,-e.

ee

jCo' U'

donnent les trois produits des racines quatrièmes exprimés par ces trois quantités U, U', L'". On peut, par ces mêmes quantités, exprimer les trois racines carrées. Il sera aisé, en effet, de vérifier la concordance des formules suivantes avec celles qui ont été données d'abord

Addition des demi-périodes dans les fonctions a'.

On est souvent amené à introduire dans les calculs les fonctions c'a, et il est commode de n'avoir pas à rechercher chaque fois les