CHAPITRE VI. — LA FONCTIOX -i U. IqS

formules fort simples, relatives à l'addition des demi-périodes pour ces fonctions. Il y a quatre fonctions 3" et trois demi-périodes, donc douze formules; mais nous les résumerons toutes dans trois seulement. A. cet effet, nous désignerons par oj^? ^->^5 <'>y trois demi-périodes, ayant zéro pour somme

w^-^ W3-^ tOv= o.

Nous poserons, en outre,

et de même U^ et Uy désigneront des quantités analogues; par la définition de s'a?/, on peut écrire les deux formules suivantes :

a'(azrwa)= — e - /L-^^-a»,

Dans légalité

'{u -^- (o^) = el.;" r'(.o3 3'^ «,

qui défiait :jp, changeons w en u -j- oj^, et remplaçons w^-l- o^a par — oiy, o'ojcj par son expression au moyen de U^; il viendra

Comparant cette dernière égalité à la première ci-dessus, où l'on chanii^era a en *', on aura successivement

^ , -r.Ju— y tij.,") ..

3^(« — tOv)= — e '-v -i '/LlYcryj/,

En vertu des égalités

wx— w^-.- ioy= o, -^.x— '1?-^ '17=0,

l'exposant de e, au second membre, se réduit à :T(''",af'^'i — 'f/i^'^-x)- Soient

-frj.^ P-xf, — 7x"f/- '^i? = /'?■'■. — ^^i-^';

un en conclut

igÔ PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Soit, pour abréger

Les trois formules d'addilion des demi-périodes s'écriront ainsi

Par l'échange des indices a, ^, y, ces trois formules donnent toutes les autres. On doit remarquer que les six nombres entiers tels que (a, [^) se réduisent à deux, égaux et de signes contraires, parce que les trois entiers^ ont zéro pour somme, comme aussi les trois entiers q. De là résulte

Si, de plus, comme on doit le supposer, les trois demi-périodes sont différentes (aux périodes près), l'un, au moins, des deux entiers p, (7, dans chaque couple, doit être impair, et (a^) est un nombre impair. Cet entier (a[3) est égal à ± i , si les trois demipériodes, aux signes près, sont w, lu', to".

Expression de p'« par les :i .

La fonction p' if a une expression remarquable parles fonctions a*. D'après la relation

jj' ?/ = == 2 v/( p ?t — é-i ) ( ]3 u — e.î){ p K — 63 ), il apparaît que p' u est le double produit des trois quantités -^, mais avec quel signe ? Il suffit de considérer la valeur u = o, pour reconnaître que ce signe est négatif. Ainsi

, :fiu.:;'^u.:f:iU

(50) pu = -^—^^^

Multiplication de l'argument dans a'w.

Si, dans la formule (12),

(5i; pit — pi>=— — ^.. . J, i

Cn.VPITRE VI. — LA FONCTION ^». igj

on fait tendre r vers u, après avoir pris les dérivées dans les deux membres par rapport à r, on obtient

(02) pu = ^rr^'

Ce résultat, comparé au précédent (5o), donne cet autre

Si l'on remplace a", u, i>ii, ^3^, par leurs expressions convenablement choisies, on peut encore écrire