u) — — \) u, : = — ]1 II

Les deux fonctions coïncident donc pour les indices i et 2. Si,

dans les formules (54) et (54«), on suppose n = 2, on en conclut que les fonctions coïncident pour l'indice 3; en supposant ensuite /z 1= 3, on voit qu'elles coïncident pour l'indice 4, etc.. Donc, généralement,

Supposons d'abord n un nombre impair. Les n'*^™^^ parties de périodes sont en nombre (/i- — i), distinctes entre elles, à des périodes près. On peut les partager en deux groupes ; chacun des groupes est composé des éléments de l'autre groupe changés de signes. Alors a, a,. . . . étant les éléments d'un de ces groupes en nombre ^(/i- — 1), la fonction ^«(m) est un poljnôme entier en pu, savoir (IV, i3) :

<\'n{it) = n{pu — pa)(pu — pai) ....

ce que nous pouvons écrire, à cause de (;)i);,

■:'( u ^- a) cfiii — a) a'(u -+- a^) a'(ii — ai) i cf(iiu)

Nous avons donc

:f( nu ) = n a^ u -. -^ • • •

cTa 3'(--rtj "(«1) "i— «1)

o • ^■ n 1 ^ ( Il -'- b) 1 ,

Si nous modiiions chaque terme — — - en remplaçant 0 par

Z> + 2Ô3, ce terme se reproduit multiplié par l'exponentielle e-V'. Si nous choisissons les divers w de façon que leur somme soit nulle, la somme des Yj correspondants sera nulle aussi. On peut donc généralement écrire

( 56 ) :j( nu) = fi :jU — ^ • • •

jCi a' ai

a,ai, ... reproduisent, à des périodes près, les /î'^'™^^ pa^^es de

période, en nombre (n- — i), et sont choisies de façon que leur

somme soit nulle.

!-■ Il* • . 1 • — 2 J;,. ( » )

tLn second ueu, si ii est un nombre pair, f- ^ — est encore un

polynôme analogue, du degré -, en pu. Par les mêmes consi-