CHAPITRE YI. — LA FONCTION rT
dérations, on peut écrire ce polynôme sous la forme
En le multipliant par
p' u a'(u — oj ) r' I » -^ (o — w' ) 3' ( î< — 0/ ) I
•2 a'{ — toj j(aj-T-to') 3'( — co') (^"j'^
on obtient en définitive, pour ce cas encore, la formule (56), démontrée ainsi en toute généralité.
Intégrale complète de la fonction ^ (').
On rencontre fréquemment, dans les applications, les deux inlc' grales définies
) du ,
dans lesquelles i> est quelconque, réel ou imaginaire. Au cas A << o, o), oj' désignent ojo et to!,. Nous avons actuellement les éléments nécessaires pour déterminer avec précision ces intégrales, qu'on appelle complètes parce qu'elles sont étendues à une période entière.
Considérons la seconde. L'intégrale indr/lnie nous est connue,
c'est - log a'(/« + ('). L'intégrale définie est donc
mais elle comporte une indétermination ([ui est dans la nature du logarithme, en sorte qu'on a
5 fO'
Jf "CJiu -+- v)du = — ii-r^'{v -f- w') -f- (2« -4- 1)-;
le nombre entier n esta trouver. A cet effet, prenons la fpiantilé
(') Voir fa même question, sous une autre forme, traitée par .M. Ilermitc : Sur l'intégrale elliptique de troisième espèce {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, l. XCIV, 1882, p. 901).
conjuguée: supposons c ^ a -4- i'J.; en ajoutant les deux conjuguées, nous aurons (/r/ étant réel)
\'i{ a -^ l'a -f- iu ) -f- w(« — i'x — iu)~\du = — 4 if,' o, -f- '2(2» -f- i)-.
Changeons la variable sous le signe d'intégration, en posant a + ?/ = [51; il vient
an — — f [r(rt-^ /'^)— :(« — i3)]f/3 = — 4 tr/a-^ 2(2 « + !)-.
Le premier membre est, suivant les notations du Chapitre V,
et c'est une quantité dont l'expression explicite a été trouvée.
Faisant dans (V, 68)/? = i et remplaçant <î>(«, oj') par son expression (V, 6.4), on a
/ •> co' \ . ,
«t» ( a, a H ^ 1 — *(«, a) = — 4 ir, a -^ i{'i?n -i- 1)7:,
2 /?i w < « <C 2 ( m -!- I ) to ;
nous excluons le cas où <7 serait une période, car alors l'intégrale que nous considérons n'aurait pas une valeur finie. Voici donc l'intégrale demandée
(5y) , / 