DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS
Préamlnile. — Décomposition des fondions ciiipliqucs en éléments simples. — Coefficients de la formule de décomposition. Résidus. — Intégration. — Intégrales elliptiques. — Expression des fonctions elliptiques en produits de fonctions r. — Proposition réciproque. — Théorème d'Ahel. — Addition d'arguments en nombre quelconque. — Expression de (^„ ( u ) sous forme de déterminant. — Fonctions analogues à snu, cnu, dnu. — Relation générale entre des produits de fonctions 3". — Fonctions doublement périodiques de seconde espèce. — Multiplicateurs. — Décomposition en éléments simples. — Exemple de décomposition. — Développement des fonctions de seconde espèce. — Autre exemple de décomposition. — Cas singulier des fonctions de seconde espèce. — Cas où les multiplicateurs sont des racines de l'unité. — Deuxième méthode pour le développement des fonctions de seconde espèce. — Développement de
suivant les puissances ascendantes de u. — Développement de ^^u-
Préambule.
On a vu, dans le Chapitre précédent, la théorie des fonctions elliptiques s'élargir tout à coup et se simplifier singulièrement : c'est l'intervention de la fonction 'jU, qui produit ce changement soudain. En un petit nombre de propriétés simples et frappantes et une seule formule (AI, li), toute la théorie se résume. Le Chapitre actuel mettra mieux encore en évidence la force de ces éléments fondamentaux. On y verra, pour toutes les formides, leur raison d'être; on y apprendra, en quelques pages, ce qu'il importe le plus de bien savoir pour faire facilement les applications.
Décomposition des fonctions elliptiques en éléments simples.
Le but de la décomposition est d'abord de mettre les fonctions rationnelles de jDW et jd' if sous une forme propre à l'intégration. yiiùs on s'apercevra que cette décomposition a, par elle-même,
CHAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. 2o3
une imporlance considérable, comme il arrive, en Algèbre, pour la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
A cause de la relation p'- 1/ —^ 4j^^'' — n^pff — g's^ toute fonction rationnelle de pu el p' u peut être réduite à la forme A— Bp'//, dans laquelle A et B ne contiennent que pu.
En considérant pu comme une variable ordinaire, on peut décomposer A et B en éléments simples, ainsi qu'on le sait faire pour toute fraction rationnelle. Les éléments simples se composent de termes entiers dont la forme générale est a(pu)", et de termes
fractionnaires avant la forme : les coefficients tels nue a,
{pu — ce)"' 1
a sont des constantes, les nombres tels que n des entiers positifs.
La fonction B p' u est immédiatement intégrale; car, si l'on suppose B ^^ F (pu), et que ■?(j?) soit l'intégrale indéfinie de F(x), l'intégrale, par rapport à u, de p' uF(pu) est r'f (pu). Cependant nous ne conserverons pas cette forme.
Considérons d'abord les |)arties entières des deux fractions A et B. Nous allons les réunir en une somme de termes, tous de même forme, constituant une première partie des éléments simples de la fonction A-hBjj'w.
Par les relations successives
p'- ^ ^P''— A'-iP — S-i,
p'" ^- I2,pp',
p" = I2(PP"— P'2) = l2(lOp3— f ^,p — -3),
p^ ^36(iop2— ^^Op',
p" -- 36(l4op* — 7.8,^2p2— 20^3p -r-lffl)...,
on peut exprimer toute puissance de jj?/, d'exjiosant entier positif, en fonction linéaire de pu., p"u, p"u, p"u, ... ; ainsi
p'=Yro[^'~~^-^"~^''^''^'
On peut aussi exprimer les produits de ces puissances par p'//,
2Û4 PUEMIÈKE PARTIE. — THÉORIE.
en fonction linéaire de p' k, p' ^f, P""''?- • •'■> ainsi,
