PP'= 77. P

D'après ces relations, les termes entiers de ^p>ii prendront la forme d'une somme de termes tels que |j j3^-'''+' (//). De même, les termes entiers de A prennent la forme d'une somme de termes "j. p'-'\ii) . iVinsi, dans la fonction rationnelle A— Bp';/, sans distinction des deux parties A et B pu, nous avons d'abord une somme de termes cp^-'\iC)

G = Cq -f- f 1 p ?i ^ C2 j)' Il ^r- C3 p" It -+- O; p'" U -~- . . . .

Envisageons maintenant dans B et dans A les fractions à dénominateurs du premier de^^ré ■• Comme il existe touiours,

^ '^ pu — a j '

on l'a vu Chapitre II et III, des arguments r répondant à pr = a,

on peut écrire cette fraction sous la forme D'après les

relations (p. i38)

^(« — r) — Z{i( — V )^ l'es -—

pu — jiv — P'f

nous pouvons écrire, pour A, tous les termes analogues sous la forme d'une somme de termes tels que Iq~ l\^[u-\- r) — -'tin — r)], r variant d'un terme à l'autre; d'ailleurs /„ peut être réuni à Co, et il ne reste que des termes IX^iu -^ v) — l^.{u — r). Pour B p' u^ nous aurons des termes tels que /' ^( m -i- r')-h /' ^(w — v') — ■! V ^ u. Tous les termes analogues de A et de B jj'w, étant réunis, fournissent une somme L, dont la forme est

et où la somme des coefficients est nulle

II— l-i—lz^ . . . =0,

comme cela a lieu pour chacune des parties /v(m -h r) — l'aile — '') et /' ç(m -I- p')H- l'tiu — r') — ^>/'(^;/, provenant de A et àntV>p' u.

CHAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EX ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. 2o5

En clifTéren liant, par rapport à v, l'une et Tautre des relations (i), on obtient

7 ; = pi" ^ ^) — piu -^v),

^^) \ ipu — pn-

Il en résulte que les fractions, à dénominateurs du second degré, dans Bjd'w et dans A, fournissent des termes

Al = /» 1 ,P I " — '' 1 ) --' "i 2 ,P l « — v-i) -^ . . .,

avec d'autres qui viennent se réunir, soit à la somme C, soit à la somme L.

En différentiant encore les relations (2)^ par rapport à r, il est visible qu'on obtient, pour les fractions à dénominateurs du troisième degré, des termes

ÏN = nip'{u — Vi) -^ n.,p'( u — v^) ^ . . .,

avec d'autres qui se réunissent aux précédents, et ainsi de suite. Si l'on observe maintenant que les termes de G peuvent être réunis avec ceux de M, de N, ... en supposant dans ces derniers ^^^ = o, ... on voit qu'en définitive :

Théorème I. — La décomposition d'une fonction rationnelle de pu et p' Il peut être faite sous la forme d'une somme de termes L — P

{ P ^ c — I.nip'''\u — v).

Il existe une exception à l'analyse précédente, sans qu'elle empêche la généralité du résultat. Cette exception provient des fractions à dénominateur pu — ei; car, si l'on fait pi' = ^x, p'i' sera nul, et plusieurs des formules tombent en défaut. Mais la relation

p(u~ (o>, ) — ei = ■—- (A , y., v = i , 2, 3)

iP " '■)•

permet de remplacer immédiatement ces fractions par une partie

entière dans A, en sorte qu'elles viennent se réunir aux termes P. Quant à celles qui sont dans B, l'analyse précédente s'y applique pour celles dont les dénominateurs sont du premier degré. Pour les autres, on a

(p II — e\)" Il — I du (p u — e\)"-^

n — i[ie; — e^){e-;~e.,)]"-idu^^- '' '-'

Elles viennent donc encore fournir des termes de P.

La proposition réciproque est presque évidente. Elle n'est à prouver que pour la fonction L : Une somme telle que L, dans laquelle les coefficients l ont zéro pour total, est une fonction rationnelle de pu et p' u. On a, en effet, d'après (i),

" "^ p " — pv

Puisque la somme des coefficients / est nulle, on voit disparaître "Çu dans la substitution, qui fournit cette expression de L. fonction rationnelle de pu et de p' u :

V2 p«— pi'i / \'J. pu—pi

Coefficients de la formule de décompositions. Résidus.

C'est seulement pour la démonstration qu'il a fallu successivement préparer les diverses parties de la fonction rationnelle. Mais, pour effectuer la décomposition, le moyen est bien plus simple, et l'on peut déterminer directement chaque coefficient, pourvu que l'on connaisse les constantes v : ces constantes sont les infinis de la fonction. Prenons, dans L, le terme l'^iii — v') et, dans P, tous ceux qui contiennent ce même argument r; nous composons ainsi la somme

{ -!- mi p'( u — v) -^ nio p( u — i') -I- l "liu — rV

Si on la développe suivant les puissances ascendantes de {u — v) on y trouve d'abord une partie où les exposants sont négatifs. A

CHAP, VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN KAfn'ELKS. 20"

celle partie, chaque terme de (4) fournit un seul terme, et elle se compose ainsi

J , , „ ( .y — i) !/«,., ini^ m,) /

\ ^ ' (u — vy i u — i- f {u — Vf- U — V

Les autres parties de L et de P, développées aussi suivant les puissances ascendantes de [u — r), ne tburnissent que des ternies à exposants positifs. Si donc on développe la fonction proposée suivant ces mêmes puissances, et qu'on y retienne seulement les termes à exposants négatifs, ces termes composeront rensemble(5) et l'on aura, par leur moyen, tous les coefficients /, /??o, /'h- — nis^ afiférents à Viiifiiii (ou pôle) r.

Le coefficient l de la fraction du premier degré est le résidu relatif à l'infini c. La somme des résidus relatifs à tous les infinis est nulle, comme on l'a vu. Il faut avoir soin de ne jamais considérer comme différents deux infinis c, i\ dont la difierence est une période. D'une manière générale, les arguments sont considérés aux périodes près.

Le nombre (5 + 2) est Vordre de multiplicité de l'infini (ou pôle) r : cet infini est simple quand l'ordre est l'unité : en ce cas, il n'existe, pour ce pôle, aucun terme dans P, mais le seul terme l'^{u — r). Le résidu / de la fonction F est alors la limite de (« • — r)F pour u = c.

Intégration.

L'intégrale indéfinie de chaque terme, dans la formule de décomposition (3), nous est connue. On peut donc intégrer une fonction rationnelle quelconque de pu et p' u. Pour les termes (4), l'intéirrale indéfinie est

nigp^-^' { u — i' ) -- nis-\ p'^'^-Hu — v) -^ . . .

-^ m Y pi u — t'j - //?o~( « — <^') — l Ic'g ^(" — '■)•

Outre que cette fonction présente des transcendantes logarithmiques, elle diffère encore, en général, de la fonction dérivée par l'absence de la double périodicité. Quand on ajoute une période à l'argument «, elle se reproduit augmentée d'une constante. Ef-

208 PREMIÈRK PARTIE. — THÉORIE.

fectivement, soil 2Ô3 cette période : le terme — /?Zo'C(" — t') se reproduit augmenté de — 2/;?oY,. En outre, i[u — v) se reproduit multiplié par — e2■V^^-l■+tb). donc l\o^'i{u — v) se reproduit augmenté de /log( — i)-l- il-7^[u — r -h w). La somme des termes analogues, puisque les l ont zéro pour total, se reproduit augmentée de — 2Y>(/( r, H-Ziro. . • ). Donc enfin l'augmentation de la fonction est le produit de 2y, par une quantité dépendant de la fonction seule, non de la période choisie. Si cette dernière quantité est nulle, la fonction est doublement périodique, mais les transcendantes logarithmiques la distinguent encore de la fonction dérivée. Si, en outre, ces transcendantes disparaissent, alors l'intégrale est, elle aussi, une fonction rationnelle de pu et pu. Les conditions pour qu'il en soit ainsi consistent en ce que les résidus soient nuls, et que les coefficients niadiienl une somme nulle.

Intégrales elliptiques.

On désigne sous ce nom les intégrales de fonctions rationnelles de X et de ^X, X étant un polynôme du quatrième degré en x.

Nous avons vu, au Chap. IV, que x et y/X sont exprimables, à la fois, en fonction rationnelle de pu el p' u. Si donc on prend u pour variable, au lieu de j", la différentielle V(x, \/^^dx se change en ^'{pu, p u)duy et la fonction .Test rationnelle comme F. Donc les intégrales elliptiques sont explicitement exprimables, sous la forme que nous venons d'étudier, par àes fonctions elliptiques de la variable u.

Dans tous les anciens Traités, on procède à une réduction des intégrales elliptiques, pour les ramènera trois e^/^èce^ caractéristiques. Ces considérations ont de l'intérêt pour l'histoire des fonctions elliptiques, mais, dans notre mode d'exposition, elles sont dénuées d'utilité, tant pour la théorie que pour les applications et nous n'en parlerons pas.

Dans le cas particulier, signalé à la fin du paragraphe précédent où l'intégrale de .î est, elle aussi, une fonction rationnelle àepu et p'«, on la peut mettre sous la forme d'une fonction rationnelle dex et de y/X. L'intégrale, en ce cas, n'est plus, à proprement parler, elliptique; elle s'exprime algébriquement. Les éléments du Calcul intégral fournissent, on le sait, des moyens simples pour recon-

CHAP. Vir. — DÉCOMPOSITIONS KN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EX FACTEURS. 209

naître ces cas. Nous n'avons pas à en parler ici ; il imporle seulement de savoir que l'intervention des fonctions ellipticjues, loin de masquer ces cas particuliers, ne pourra manquer de les faire découvrir quand ils s'ofifriront.

Ln autre cas, bien plus intéressant, existe encore où l'intégrale ])eul s'exprimer sans le secours des fonctions elliptiques. C'est celui où d'ahord les coefficients /;?,, oui une somme nulle, et dans lequel, m outre, la fonction soumise au signe logarithme est, elle-même, rationnelle en pu.p u. Dans la somme des quantités analogues à (6), la partie logarithmique est \o^[i(a — v }Y [3* (m — *'«)]''• • • • (j'est un produit de fonctions j, avec des exposants quelconques. L'étude des cas où ces produits sont des fonctions rationnelles de paelp'u s'impose donc. Mais ce n'est pas seulement pour les intégrales elliptiques qu'elle imporle ('). Nous allons y trouver un autre mode caractéristique d'expression pour les fonctions elliptiques, aussi important f[ue la décomposition en somme d éléments >imples : c est la décomposition en facteurs.

Expression des fonctions elliptiques en produits de fonctions :r.

D'après la formule fondamentale (AT, la),

:ï( Il -^ i') j{ii — v)

ri- II. s^-t'

lotit polynôme entier en pu, étant le produit de facteurs p u — J^^^'i , p u — p^'ii • • • 7 peut être mis sous la forme du quotient d'autant de facteurs ^{u ^ v) ii u — c) et de (ju)'-", le tout à un facteur près, indépendant de u. Le quotient de deux polvnomes entiers en pu, c'est-à-dire toute fonction rationnelle en pu, peut donc être transformé en fraction de la forme

j (i< -f- C] ) :i( u — Cl) j^(u -h i'2) ^(" — ^'2) • • •

3'( a H- l'', ) j ( f« — v\) j{ ll-r- v'^) j(U — v'., ) . . .

Il peut V avoir des zéros parmi les r,, v.2 *"|, ^^''.i • • •• H ^

a autant de facteurs au numi'-rateur ([ii'aii d 'nominatinr.

{') I>ans le sccDinl vuliimc ilc cet < )iivim;.c. nn priera p!us amplement de ces iiiti-sralcs, nommées pscudo-cUipli'jiœ^.

La fonction p' u a déjà été représentée sous une forme analogue (VI, 5o)

9, ::'( Il — o>) :^ ( u -^ oj -4- to' ). ij( it — m' )

Ici il y a trois fonctions i à chac[ue terme; à chacune Ci(ii + c) ne correspond pas, comme dans la formule précédente, la conjuguée 'j(ii — r). Mais les trois arguments, tels que c, au numérateur, sont (o, (o', — (to + w'), et leur somme est nulle.

En multipliant par p' z^ une fonction rationnelle de pu seulement, on obtient donc aussi le quotient de deux produits de fonction 3*. Ces deux formes sont, toutes deux, des cas particuliers de la forme générale suivante

f{u) = A— TT-TT —. -77 —■'

comprenant autant de fonctions i en numérateur qu'en dénominateur, avec cette condition, en outre, que la somme des zéros est éaale à la somme des infinis

Grâce à cette dernière condition, la fonction f{u) est doublement périodic[ue. En effet, si l'on change u en z< + ad», chaque 3* se reproduit, multiplié par le facteur ± e2r,(«-i+ôj) Lj^ fonction f{ii) se reproduit donc multipliée par une exponentielle dont l'exposant est

r u — ('i -^ W -^ u To -f- W -+-... -^ U — ('„ -^ W "I

Il est naturel de rechercher si f(u) n'est pas une des formes par lesquelles on peut représenter toute fonction rationnelle en pu et p' u à la fois. C'est ce qui a lieu, comme nous allons le montrer.

Considérons d'abord un polynôme entier en pu et p' u. Il peut être mis, on l'a vu dans ce Chapitre, sous la forme

Envisageons la fonction -pr- — -• Elle devient infinie, soit pour

F[u)^ o, soit pour u^o. A l'égard de ce dernier infini, les parties [nincipalcs de E'(«) et de ¥[u), pour u infiniment petit,

CIIAP. Vir. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EX FACTEIRS. ■?. 1 I

sont respectivement celles de cp '"( u) et de cp^"~*'(u). Le résidu est donc le même que si l'on bornait ¥( n) au terme p^"~'''(i/) ou, plus simplement, si Ton prenait, au lieu de F(?/), la fonction

^^ ^ • Le résidu est donc — (n -^ i). Quant aux racines de F ( it).

il en est ici comme si F(?/) était une fraction rationnelle; chaque résidu est égal à Tordre de multiplicité de la racine, et chaque infini est simple. Si donc Tj, Poi • • • sont les racines de F(//), distinctes, àdes périodes près, avec les ordres de multiplicité u, , 'jlo, ..., les résidus sont |j.| . y.o

En appliquant à —. le théorème de décomposition en éléments

simples, on a donc

(6) ^rr^ = c—'M "Ku — i'i)-^ a, l( u — r,)-^ , . . — ( n — ijHu:

d'où l'on voit d'abord que la somme y., — jjlo. . . e5tégaleà(/? -;- 1 puisque la somme des résidus doit être nulle :

En prônant les fonctions

lo-F(«) et

c — li-i log ■^(u — t'i ) -^ [J-2 log 7(m — fo)-^ . . . — (n -1- i) loçr ~if.

dont les dérivées reproduisent les deux membres de (6) respectivement, puis, passant des logarithmes aux quantités, on obtient l'égalité

(u) = Ae'-" — — - — !^ --—^ ,

où A est une constante. ^lais la double périodiritc' de F(//) va nous permettre d'établir que c est nul et que c, , ( .,, . . . sont liés par une relation.

En effet, si l'on change u en u — 20), suivant un calcul déjà fait plus haut et d'après la relation (-), le second meml)re se reproduit, multiplié par une exponentielle dont l'exposant est

Celte exponentielle S" réduit à l'unité, puisque V(t/') a la périodr

qr:? PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

2(o; l'exposant est donc un multiple entier de 2/7:; ainsi, m élant un nombre entier, on a

ne M — 2 ( [j-i t'i -^ II.', p'2 -T- . . . )''"i = 2 "* '■~-

Semblablement, avec l'autre période, on aura

1 cLo' — 2(7-1 t'i -^ [Aofo — . . . )r/ = im' i-.

^lultipliant la première égalité, aux deux membres, par — (>)', la seconde par (o, puis ajoutant et remplaçant t^m — y/d) par— ^ divisant enfin par ir., on obtient

'A) v=,-^ . . .= im oi

Cette relation exprime que la somme des racines de Fu^), cliacune comptée autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité, est égale à une période, ou, en d'autres termes, est égale à zéro, sauf une période.

Chaque racine i^i, t'o» ••• n'est déterminée qu'à des périodes près; altérons l'une d'elles d'une période de manière à réduire la somme des nouvelles racines à zéro. Par exemple, écrivons, au lieu du numérateur du second membre de (8),

A cette altération des racines correspond simplement un changement des constantes c, A, puisque l'on a

11 est donc établi que Ton peut supposer dans (8) la relation

[Xi l'i -T- ;JI.2 l'2 — . • ^ o.

Mais, s'il en est ainsi, les deux relations trou\ées tout à l'heure se réduisent, pour la nouvelle constante c, à

2 CIO = itni-,

et leur simidtanéité exige que c soit nul, (o' et w ne pouvant être proportionnels à deux nombres entiers, puisque leur rapport est imaginaire. Ainsi (en mettant /?, au lieu de n -f- i):

CHAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. 2l3

Théorème II. — Toute fonction entière de pu et p u peut tire écrite sous ta forme

3'C?< — fi) :f{u — Vi).. .'^(u — f„).

le nombre des fonctions a* au numéraleui- est égal au degré u du dénominateur, et la somme t', -h ^ '2 H- ---r- '^^ides racines est égale à zéro. Quelques-unes de ces raci/tes r,, Vj. . . . peuvent être égales entre elles.

Prenons maintenant une autre fonction entière analogue F,(^^)

c-( u — v\):^{u — v\)...:^(u — v',„ ) Il peut se faire cjue quelques r' reproduisent cpielques r et dis-

I)araissent dans le quotient ç, Ue même aussi, les denomina-

^ ^ Fi(ttj ' .

leurs IjU disparaîtront ou subsisteront, soit en numérateur, soit en dénominateur, suivant la grandeur de la diCPérence (m — n). Uuoi qu'il arrive, le résultat sera toujours conforme à l'énoncé suivant :

Théorème III. — Toute fonction rationnelle de pu et pu peut être écrite sous la forme

:i(u — v^)-::(^u—v.,)...::<^u — Vn)

le nombre des fonctions d en numérateur est égal au nombre des fonctions d en dénominateur, et la somme des zéros est égale à la somme des infinis

11 peut, bien entendu, v avoir égalité entre quelques racines f, égalité entre quelques infinis v'; il peut, parmi les uns ou les autres, s'en trouver cjui soient égaux à zéro.

Proposition réciproque.

Cette proposition admet une réci[)roquc : Toute fonction, telle (juc ^{u) (10), est rationnellement exprimable par pu et p' u.

2l4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Pour le démontrer, envisageons d'abord

avec l'hypothèse

»'l+ t^2-r-. . .-4- Prt= O.

Prenons d'autre part^ avec des coefficients indéterminés,

'\'{U)= Co-r- Cip U -h C-ip' U -^ . . .^ Ca-lP'-"'--\u).

On peut déterminer les rapports de ces coefficients, de telle sorte que '}(«) ait les racines T), t'o; - • ■ - ^n- Effectivement, écrivons, en laissant de côté une des racines,

Ces ( /i — i) équations du premier degré vont déterminer les rapports mutuels des n coefficients c, si toutefois elles ne se réduisent pas à moins de (n — i) distinctes. Si ce dernier fait se produisait, il faudrait seulement conclure que quelques-uns de ces rapports jicuvent èli'e pris arbitrairement. De toutes manières, on peut les résoudre sans que les coefficients c soient tous nuls. Gela étant, 'l'(w), qui a un seul infini, multiple d'ordre /z, a /i racines, donc une encore, outre t'i,. . ., t'«i. Comme aussi la somme de toutes les racines doit reproduire une période, la dernière racine est ('//• H existe donc bien un polynôme '\>{u) ayant les n racines de 'f («)• Quant àTindétermination de ce polynôme, elle ne peut exister ; car, si l'on avait deux pareils polynômes, on pourrait en déduire un troisième qui ne contiendrait plus jd'"~-'(w), et aurait ainsi moins de n infinis. Il ne saurait donc avoir n racines. Donc '\>{ii), à un lacteur constant près, est entièrement déterminé. Maintenant «]>(«) sera exprimable sous une forme telle que '^(m), et, les zéros étant les mêmes, on aura,, à un facteur constant près, '^{(i) = 0(^11).

Prenons maintenant ^{u) sous la forme (10), avec la condition

Déterminons deux polynômes, tels que -L (w), d'ordre (/i + 1) tous deux, par la méthode qui précède, savoir

,, ^ -fin — vx) :j{ H — v<,). . .:f(a — V,,) :j{ii ~i-\)

■idi — p', ) !j(u — l'o). . . -iiu — v'„) ji II -t- V)

CUAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EX ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEl RS. 21 J

Cl nous aurons

C'est ce qu'il ("allait prouver.

Il y a là une remarque à faire. La forme en produit est beaucoup plus parfaite que la forme rationnelle en pu, pu; elle met en évidence les zéros et les infinis sans aucun facteur étrani^er. Pour passer à la forme rationnelle, il faut introduire un facteur ('Iranger, qu'on ne saurait éviter.

Théorème d'Abel.

Dans les énoncés des théorèmes I et III, il v a une partie qu'il faut surtout remarquer, c'est d'abord (théorème I) :

La somme des résidus d' une fonction rationnelle de pu et p' u est toujours égale à zéro;

Et, dans le théorème III :

La somme des racines est toujours égale à la somme des infinis (ddes périodes près).

Ce second énoncé, dans sa forme générale, se déduit d'ailleurs immédiatement de l'énoncé spécial, partie du théorème II :

La somme des racines d'une fo7tctio/i entière de p u et p' u est égale à zéro (à des périodes près).

C'est en cela que consiste, non pas le t/iéorème d'.ibel^ mais le cas particulier de ce célèbre théorème concernant les intégrales elliptiques. En voici la démonstration directe, que nous avons déjà employée dans un cas simple (Chap. II), telle, sauf un changement de langage, qu'Abel l'a donnée d'abord.

Soient M et N deux polynômes entiers par rapport à x ^= p u ; la forme générale d'une fonction entière de pu et p'u est M + A p'//. Nous désignerons par ni et n les degrés res[)eclifs de M et de IN. Les racines sont fournies par l'équation

(il) M -^ ^p' Il — o,

(|ui, rendue entière par rapport à x = pu, de\ienl

(12) F{x) = M^- ^^.\x^- s'^x — ffi) =o.

Le degré fj de cette dernière est le plus grand des (Icm\ ikuu-

2l() PKEMIÈRE PAUTIE. — THÉORIE.

hves um, in -\- 3. Supposons inainlenanL variables les coefficients de M et IN. Les racines x de l'équation (12) et, par suite, les racines a de la fonction proposée, varient en même temps, et la dillérentielle totale de F(^) est nulle. Désignons par oM et oN les différentielles totales de ^1, N, où on laisse JC constant, c'està-dire ces polynômes mêmes où seulement chaque coefficient esl remplacé par sa différentielle. Cela étant, et dx, du désignant les différentielles totales de x et de «, on a

F'(^) dx — -i.'Slo'Si — 2N oA(.{ J73 — g^x — ^3) = o, dx = p' u du^

De là se conclut d'abord

(i3) Y'{x)]:,' u du — 2.M0M — 2> oXj)'^;/ = o.

Mais, suivant (i i ),

M = — >i j)' u , N p'- u = — .^I ji' u .

Remplaçant, au second terme de (i3) M et, au troisième terme. Njd'^w, par les deux expressions qu'on vient de mettre en évidence, puis supprimant le facteur commun p' u et divisant par

¥'(jc), on obtient

ArlM — :\Io\

du = -J. p7- :

Chaque racine x de (12) donne lieu à une pareille égalité. Désignant par U la somme des arguments-racines a^ on aura donc

(i4> dl]=^iy^

H la sommation, au second membre, s'applique à toutes les racine.'^ /: de l'équatioia (12). Cette somme est nulle, d'après le tliéorème d'Euler, classique dans la théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples : si le degré du polynôme <î>(.r ) est inférieur de deux unités au moins à celui du polynôme F(^), la somme des quanliiés <ï>(x): F'( x) est nulle quand on Y met successivement pour X toutes les racines de¥ (^x), supposé n\n'oir que des racines simples ('). D'abord F( x) n'a pas de racine

(' j l{a[)pelL)ns la dcmonstriitiun : suivauL le» liypolluscs. la fraction <l>{x): V {x'.

C.n.KV. Yll. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTiauS. 2iy

imiltiplc taiil que les coeiricients de M, X leslenl iiulélcrininés. Quant au degré de NoM — MoN, c'est m -r- n, tandis que le degré ^ de F est le plus grand des deux, nombres un, 'in -\- 3. Or on peut écrii^e, en premier lieu,

m -^ n = 2/1 — 1 — {n — ni — i).

Si 'Ml -f- 3 est supéi'ieur à •>. ni, on a ini^ m -h 2, par conséqucnl

// — ni—r'i-^o; done in-\-n^q — 2. En second \\cu, ('■ci-i\oii>

aussi

m -^ n ^ JL m — x — (in — n — i ).

Si :i ni est supérieur à m -\- 3, on a irn d ■■>. n -t- 4y p<^ii' consécpicnt m — n — 2 ^ o ; donc ni -^ nj^q — ■>.. Ainsi le degré de N oM — Mo\ esl au plus égal, dans tous les cas, à ^ — 2, et la somme (i4) 6st nulle. Donc U est une constante ne dépendant pas des valeurs |>articulières qu'ont actuellement les coefficients de M et N. Si, |)ar exemple, on suppose M réduit à l'unité et N à zéro, toutes les racines x deviennent infinies, les arguments u se réduisent à zéro (sauf des périodes), et la somme L est alors nulle. Elle est donc toujours nulle ou mieux, toujours égale à une période.

(Jn voit que cette démonstration ne se modifie, pour ainsi «lire.

en aucune façon, si l'on remplace \l ^X'^ — S^^ — ^'3 P^^' ^^ racine carrée d'un polynôme entier quelconque; en ce cas le théorème \ise des transcendantes plus élevées que les transcendantes elliptiques. Mais Abel ne s'est j)as borné à cette généralisation, et son théorème s'étend encore aux. transcendantes abéliennes (ainsi nommées par Jacobi), qui naissent de l'intégration d'une fonction algébrique quelconque. Nous ii'a\ons pas à donner ici ])lus de détails sur ce sujet.

Une remarque doit être laite dans la démonstration qui précètle : le nombre des racines x est égal à q, c'est aussi le nondjic des racines u. D'après une partir des théorèmes II ou 111, ic nuinbrc

se décompose eu lrucLion.s simples solis lu lurmc -^ — - = > —

r. -Miillii.li 'l'u pour lin

2à vT^.

j:, étant une racine quelconque de I". -Miillijili.inl pur j; aux deux membre», cl sup- |)osanl X inlinimenl grand, on a zéro pour limiu- du piemiei- memljix-, cl

7) pour liiiiiLe du second.

21 8 PllOlÈUE PARTIE. — THÉORIE.

des racines est égal au nombre des infinis. Il ftuit donc reconnaître que l'ordre de nuilliplicilé de l'unique infini a = o, pour la Ibnclion M + N p' u, est égal à q. Or cela est visible : car, pour M, cet ordre est uni, puisque pour pu l'ordre est égal à 2; pour N, cet ordre est 2/?-|-3, puisque pour jd'w l'ordre est égal à 3. L'ordre de multiplicité est donc le plus grand des deux nombres Àm, 2/« + 3, c'est-à-dire le degré q.

Addition d'arguments en nombre quelconque.

Soient ;/,, ?/o, .... //„ des arguments quelconques.

On peut construire une fonction entière en pu et p' u, qui aduietle ces arguments pour racines. On prendra pour cette fonclion

et l'on déterminera les rapports mutuels des coefficients par les conditions

/(«l) = 0, /(Ui)^O,

f{Un) = 0.

La l'onction est donc ainsi déterminée, à un facteur constant près. Elle a pour expression, sauf un facteur constant et arljitraire,

(l5) 0,;(' H, Ui, U.2 U,i) =

I p II ])' a ... j)("-i) u

i pui p «1 I pu-, p'ifî

I piln p 11,1 ■ ■■ p '"-'■«<

D'après le théorème d'Abel, elle a encore la racine

Donc le délerminanl (i5) est nul quand la somme

est nulle. (Vest là. comme on voit, un tli('orème d'addition très général, et (pie nous connaissons, depuis le Chapitre II, pour le cas /i 1= 2.

Nous pousserons plus avant dans Tétiide du déterminant (i5), et rexprimerons complètement par un produit de fonctions i. L'eji-

CHA?. Vil. — DECOMPOSniO.NS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. :î 1 9

visa^eanl comme runclioti de u el connaissant ses racines, nous pouvons écrire immédiatement

(lOj o„(M, »,, «.,...,«„) = c„ : {:;uyi+^ ' ''

et Cl ne dépend pas de u. l*our délerminer cette constante, prenons, aux. deux membres de l'égalité (i6),la partie principale quand u est infiniment petit.

Pour Ç/^, on obtient sa partie principale, dans l'expression d •"))■,

par le seul terme p(""'^w= 1 — '- -i- . • .. qui se trouve mul-

liplié par un déterminant mineur. Ce dernier se déduit du déterminant (i5) par la suppression de la première ligne et de la dernière colonne; c'est le déterminant analogue à '^«, mais avec un argument a en moins. C'est donc c;„,(?^i, /<o, ..., u,i)- De plus il est affecté, quant au signe, du facteur ( — i)". En mettant pour ■i„, une expression analogue à (16), nous avons donc, comme [)arlie [)rincipale de 'i,,, ;^~^"+", multi[)lié parle coefficient

, r'(«., — u\) a'(u:i — Ui). . . :7'(Mi-i- Uî—. . . -+- u„) — « C/i-i ;

Quant à la jjarlie principale du second membre de (l'J), "^ t/ a\anl u pour partie principale (VI, 10), ce sera m" "+'^, multq:)lié [)ar

C,i J Ux J U-i. . . J Un J («1^- Ut-~- . . .-i- U,i)-

Egalant entre eux ces deux coefficients, nous obtenons

, ^'l Ui— 112) vf»! Uz). . ■ :^(iii Un)

Cn— — n\ — — ^ Cn-i-

( r'»i )«-^' :^Uî -iu-i. . . -iun

De même

' '^ — u • TZj ,„ , 1: Z, Cn—1 •

{:fUi)"- '^Uz :ïu:,. . . -iUn

■i( U„^i — Un)

<^i = — rz ^:rz — <^o-

( :fun-i)' :run

il est visible (jue Cq est l'unilé. Multipliant ces égalités membre il membre, on en déduit c„, et l'on conclut

,' , , ,0, I :^(u — Ui-{-u,-h. . .-\-u„)U::'(u:i— u'i) (,-^ \ >(«,«„«.,...,«„) = (-. )"2!3!.../.. ,^u^u,^u,...-un)"-^ =

'2-20 PHEMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Le symbole H, clans celle formule, comme dans les suivantes, indi(|ue le produit de divers facteurs analogues.

Expression de '!^n{n) sous forme de déterminant.

Examinons comment se modifie cette égalité (i-) quand quel- (jnes-uns des arguments deviennent égaux entre eux. Supposons

U,i~ Un-\= h

inliniment petit. Remplaçons, dans le déterminant (ij). les éléments de la dernière ligne par leurs différences avec les éléments correspondants dans la ligne précédente. Comme 1i est infiniment petit, pii,i — p^(ii-\ converge vers A j3'«„,, et ainsi des autres. La partie principale de C5„ est donc le produit de Ji et d'un déterminant qui diffère de (i5) par la dernière ligne seulement. Dans ce nouveau déterminant '■:>„,{ la dernière ligne est

Dans le second membre de (17), le facteur 3" («,/ — "«-1) apour partie [jrincipale 1i.

Egalant les parties principales, on a

Supposons maintenant «„i — if/i-2^=f't infiniment petit. On obtient la partie principale de '-p//,i, en combinant les éléments des trois dernières lignes, et cette partie principale est le produit de ^/i'^ par un nouveau déterminant 'j',i,ij différent de 0,1 par les deux dernières lignes qui sonl

o, p'u,i-.2, p"ll„~-2, ,P'"'"«-2,

Prenant de même la partie principale au second membre de (i8j, on voit qu'elle est formée par le facteur [j(u„, — «/«-s)]"? el Ton a

' - ( — 1)« (2!)- 3! ..-.ni '

CHAP. Vir. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEIIIS. '. > 1

On \()it clairement qu'on peut continuel' ce mode tranalvse et supposer finalement tous les arguments égaux entre eux. Mais il est mieux d'obtenir ce rcsnllat (inal d'im seul coup au movcn d un petit théorème, souvent utile dans l(^s applicalions des déterminants au Calcul infmitésimal.

Soient /( , /o. . . . ,y,„ des fonctions d'une variable//. Envisage<uis le déterminant D composé avec les /n- élémentsyp(// + rtg), on p, q sont les entiers 1,2, . ., /??. Dans une même ligne, celle de rang /y, la lettre /a les divers indices i ,?.....,/;?, et la lettre a le seul indice q ; dans une même colonne, celle de rang/?, la lettre /"a le seul indice/?, et la lettre a, les indices i, <? m. Le théorème dont il

s'agit donne l'expression de la partie principale de ce déterminant D, quand r/, , (f/o- ••• 1 <"'/« sont infiniment petits. ^ oici comment. Prenons pour chaque fonction les m premiers termes de son déxeloppement par la série de Tajlor sous cette forme

af,

,y(m-iV„i

en sorte que î^, ^ est un infiniment petit. Abréviativemcnt

Soit D, le déterminant des quantités ^p,q- H est manifeste que le rapport D : Di converge vers Tunité quand les z sont inliniment petits. On peut donc substituer D| àD dans celte question. Mais D,, d'après la règle pour la multiplication, est le produit de deux déterminants ; l'un d'eux D' est composé des éléments /"^^'ù/i,

l'autre D" des éléments —^ Pour ce dernier, on connaît son e\-

Ppression explicite; aux factorielles près, c'est le produit de toutes

les diflérences (r/^ — rt,^'), où l'on prend partout q > q' .

Appliquons cette proposition au déterminant'^,, i(//| , u-x, . .., u„),

en y supposant 11^=^11-^0^, //o=«-|-r/o, ..., iin=^u-{-ii„ et

Les dérivées de y^i étant nulles, le déterminant D' se réduit à MU mineur de (« — i)- éléments. La partie j)riiicipale de

est donc

'in-ïi'h, "î, ■■■, "//)

et ce déterminant D' a ici l'expression suivante

Mais, d'autre part, d'après la formule (i-) où l'on change n en (n — i), M en «,, lit en u-y, ..., la partie principale de cp„, est aussi

(-.)-' 2! 3!.. .(«-Ol^^^fJC»,- ./,,).

D'ailleurs i/,/ — ^/y= ''fq — <^/(/'. d'après la supposition //,/= i( -+- a,/. Nous avons donc ainsi la formule

a'(nu)

fjn('<

{:fu)"''- ~ I2! 3! ...(» — !)!

Il faut se rappeler qu'on a prouvé (VI, 5.")) l'égalité

'^n(if-) étant l'importante fonction qui sert de base à la théorie de la multiplication de l'ai'gument. Au Chapitre IV, on a vu comment cette fonction se calcule par voie de récurrence. Nous en trouvons ici une expression sous forme de déterminant. Cette dernière, pour le calcul effectif, n'est d'ailleurs pas d'un emploi pratique. Mais elle offre un grand intérêt au point de vue théorique. Elle se rattache notamment à la théorie des fractions continues d'une manière curieuse, comme on le verra dans une application.

Fonctions analogues à smi, en», Anu.

Voici une autre forme de l'analyse qui précède, propre à mettre en lumière des circonstances nouvelles. Désignant par m un entier positif, considérons la fonction

D'après la proposition réciproque du théorème III, c'est une fonction entière de pu, p' u '■, comme l'infini ?/ = o est multiple