CHAP. VU. — DÉCOMPOSITIONS EX ÉLÉMENTS SIMPLES ET EX FACTEURS

d'ordre (m + i), on pourra la mettre sous la forme

(22) yj u I = «0 ^- «1 P " — «2 p' Il -^ «3 p" i'-^ . ■ . -^ ct,„ p''"-" u.

Si l'on veut déterminer les coefTicients r/, la méthode générale pour la décomposition en éléments simples nous indique le procédé qu'on doit suivre : développer '/{u) suivant les puissances ascendantes de u. Bornons-nous à prendre le premier terme de ce développement; c'est, d'après ("îi), le produit de /<-('«+" par

D'autre part, dans le polynôme (aa), le coefficient de /<~^"'+'' est ( — 1)'"~' 2. 3. . . . ma,n. On a donc immédiatement a,„ :

Nous pouvons encore déterminer les coefficients r/, en dévelo[)pantles deux membres de (22) suivant les puissances ascendantes de [u — v). D'après (21), les m premiers termes doivent manquer. Quanta celui de rang (/?^ -f-i), qui contient (?/ — r)'" en facteur, son coefficient, d'après (21), est

Voici donc {m + i) équations qui déterminent les coefficients a :

«0 -^ «1 ,P V -^ «2 P' '' — a-ip" V — .. . -\- a,n jr^"'-'- t- = o, «1 j)V — «2 p" '- '- «3 p"'v -+-...— a,„ p('«) r =0,

«1 p''«' V — a, p('«+i' (• -^ aa pi'«+2' ,, , ^ ^^^^ pC2/«-ii ç. «j ! '\)„^^^ ( c )

Le dénominateur, commun aux expressions des inconnues a, est le déterminant trouvé tout à l'heure (19), sauf un changement des lettres : c'est 0,„4.i(r). Prenons maintenant le numérateur |)our l'expression de «,„ ; d'après la théorie générale des équations du premier degré, on forme ce numérateur ici, en remplaçant, dans le déterminant précédent, les éh'inents de la dornière colonne [)ar les seconds membres. On volt par là (pie ce luinn'ralenr csl

Noii'; avons donc, avec ('23), cette double expression de a,

m\ •l/„,ui((')-'^«i(t')

T.a re1;ilion

■■^«-il,*^)

I //II- 0„i( (• )

(|iii se déduit de là, et les valeurs initiales '\i.-^{y)-=^ — Oo ('(•:= — p'r. conduisent immédiatement à l'égalité (20).

Les circonstances nouvelles, dont nous avons parlé au début de ce paragraphe, concernent le cas où /;»" est une période. Soit /;?c zzr o tô, on aura

■^la 3'c)"'+i

En faisant abstraction diin facteur indépendant de u, on voil >'in- Irodiiirc ici la puissance ///' ""^ d'une fonction /"(?/ ) fort remar(|ii;il)le

. -ii 11 - l- le'-"" 9.(0 il

Nous allons bientôt envisager de telles fonctions pour le cas où r et s seront des constantes quelconques. Ici r est la ni^ ^'^ partie d'une période, et 5 la nV'""' partie de la constante 2 7,, qui correspond à cette période. D'après notre analyse, cette fonction [i^) fin) est la racine ni"""' d'un polynôme entier en pu et pu. (On observera que, pour ce cas, «,„ est nul.)

Dans le cas particulier tn = 2, nous avons <léjà, au Chap. ^ I, envisagé trois fonctions (24), et nous avons vu qu'elles sontégales aux trois racines carrées \ pu — e-^. Dans le cas général, ces fonctions (24), pour lesquelles on peut aisément trouver des expressions analogues, jouent, comme nous le verrons, un grand rôle dans la théorie de la division et de la transformation.

Relation générale entre des produits de fonctions Soit une fonction F(/^), composée ainsi :

( H — V\ ) 3'( K — V'.2 )... 3'( U — V',i ) ' Co-f-. . .-\- Vn = f'i -f- f'o — . . .+ (•'