CHAP, VU. — DÉCOMPOSITIONS E.\ ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS

Le nombre des facteurs au numérateur est égal à celui des lacteurs au dénominateur, et la relation (26 ) exprime que la somme des racines est égale à la somme des infinis. D'après la réciproque du théorème III, F(«) est une fonction rationnelle de pu et p'i/ donc la somme des résidus est nulle, ce cpii s'exprime par la relation

-<«'/»— ''i> s-lc',,!— r.,)... :ï(i'\

,— r,)... ::'(r;„— »'„,,) ^-ir^j— r„,^, »... :^{i>,„—v„)

Im relation (27) a lieu entre >.n aigunients quelconques, liés seulement par l'égalité (26).

Pour qu'on se fasse une idée de la généralité que comporte cette relation (2-), montrons qu'un de ses cas particuliers, le plus simple, consiste en la belle équation à trois termes que nous avons vue au Chap. W (^ I, 43). Supposons /;?= 3, etchassons les dénominateurs, nous aurons

-i- ^(V'o V^) ^'(P', — i'-i) j (V'o — t'3) r'(c'j — l'', ) > fj— 1-2-4- 1-3= fj-l-i'^-i-l'-j.

-f-s'iV's — Vi) ■:^{v'.^ — v.2) cf(r'j— 1-3) ■i{v\ — i\,) = o '

Cette relation se change en l'équation à trois termes, si l'on prend

la = 1 f'j — Ti — 1-2, 'ib =^ 2 t'j — l'i — ^2,

2C = UC3 l'i f2) id = t"l t'2-

Fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

Remplaçons, dans (27), i',/ et i)^ par (r„ — //) et ( i-^, — //), ce qui laisse subsister l'égalité (26). Posons aussi

Ces notations amènent une dissymétrie pour un terme de la relation (2-), le dernier, celui où l'indice m est égal à «. Ce terme s'écrit alors ainsi

■^{ax— u) ^{ai— u). . . 3'(ct„i— u) ^iv'„—Vn)^ :j(bi— U) ■:f(bi— u). . . 3'(6„i — «) I. i5

Quanl aux aiilres termes, ceux où l'indice m est égal à

ils prennent la forme commune

cf{ai — h,n)^{ai—b,„)... s'(a„-i — b,„) :!'iv'„ — i>n—à,n+ii)

a'(bi—b„,) :f (b-,— b ,n)... c! {b in-i — b ,n) a'(b„i+i—b,„)...a'{br,-i—b„,)^{u — b,n)

Pour mettre en pleine lumière la relation (27) dans cette nouvelle forme, soient encore

( «1-1- a., — . . .-t-a„i = A, èi-+-62H-...+ 6„, = B;

d'où résulte, d'yprès (36), \\^ — r„ = B — A. Nous pourrons dès lors écrire notre égalité comme il suit :

'(Il — «i) o'iM — a-i). . . 3'(« — a„-i)

(« — èi) ^(a — 62). . . ^(ii — 6„i:

ci{b,n--bi)i{b,„~b.i)... c>'{b„i—b,„-i)a'{b„,-^b,„+i)... a'(b,„— b,i-i)

1 -^ a'{b„,— ai}:;'(b,„ — a.2)...c:'(b„,—o,„^i)a'(b„,— a,n+i)...:r{b,„—aa-i)

(^(b,n—a,„) :^(ii — b„,-^B — A)

a'(n~-X) ■i{ii — b,„)

Dans cette égalité (29), tous les arguments sont quelconques, et A, B désignent, comme l'indiquent les relations (28), les sommes respectives des a et des b. Considérons tous ces arguments comme des constantes, a seulement comme variable. Nous vo yons alors au premier membre de (29) une fonction de u, composée parle quotient de deux produits, chacun comprenant pareil nombre, mais quelconque, de fonction a". Au second membre, apparaît une somme de termes, dont chacun, sauf un facteur indépendant de u, contient seulement le quotient de deux fonctions d. C'est donc une véritable formule de décomposition en éléments simples. Il convient de s'y arrêter pour bien reconnaître la nature du premier membre, et la composition du second membre.

La fonction qui figure au premier membre n'est pas exprimable rationnellement en pu et p'w; il lui manque, pour qu'il en soit ainsi, l'égalité entre les deux sommes A et B. On voit même immédiatement comment, au cas où A deviendrait égal àB, la formule dégénérerait en celle (3) qui fournit la décomposition des fonctions rationnelles, car tous les termes du second membre con-