CHAPITRE Mil. — LES SÉRIES
En désignant par m, m', ni", ni'' quatre nombres impairs positifs ou négatifs, nous avons, pour un terme quelconque de A, cette expression
I ;ji. = 4 ( '« -^ m' -T- ni' -i- ni!" ), M = «i^ -;- iii- -r- /«"^ -\- m'"-,
I a = in{b — c) -4- m' (b -^ c) -f- m" {a — d) -^ m'" (a -^ d)
\ = ( /?i" -7- ni!" )a -t- ( /« -+- ni)b -f- ( /«' — /?i) c -f- ( /n'" — ni")d.
Nous distinguerons les termes où <j. est pair et ceux où [jl est impair, en écrivant
(A) = (Aq) si iJL est pair; (A) = — (Aj) si a est impair.
De cette façon, on aura
Faisons de même pour B :
/ (B)=(-i)v^V, (12) I V = -î, ( 7î -f- ,i' L- n" ^ ri"), N = «2 ^- ;t'2 -+- /i"^ -f- ri"'^ , \ [B = f/i"-;- n"')b -\-{n-'- n')c ^{n' — n)a-^ ("-'"— ri')d.
(B) = (Bo), si V est pair ; (B) = — (Bi), si ■> est impair.
B = ^(Bo)-S(B,).
Faisons encore de même pour C :
(C) = (Go)si7: est pair: (C) = — (Ci) si - est impair.
C= v(c„)-v(Ci).
Les lettres m, n, p désignent des nombres entiers impairs quelconques, positifs ou négatifs. Prenons un terme arbitraire (A), et voyons s'il existe un terme (B) pour lequel l'exposant ^ soit identiquement égal à a, quels que soient a, 6, c, d. A cet effet, on devra poser
n — ;z = m -^ ni , n -^ n = ni -+- m , n -H /i' = ni — m, n"' — n" — m"' — m".
Ces équations résolues donnent
n = \{ — m -h m' — »i" — n\!") = — [j. -t- m\ n' = -2( — m -4- ni' -t- m" -^ ni") = -4- [j. — m, n" = 2 ( m -~- TU ^ m" — ni" ) = -;- [j. — ni", ji" = ^ (. m -^ ni — ni' -^ ni") = -i- [x — m" .
On voit d'abord que ces nombres n, effectivement entiers, ne sont impairs que si [jl est pair. Ainsi le terme (A) considéré doit appartenir au type(Ao), sans quoi l'identification serait impossible. Ayant donc pris un terme (Aq), nous trouvons les quatre nombres n impairs, et, par conséquent, un terme (B), pour lequel on a [î = a. D'ailleurs, d'après (i4)?
Le nombre v est donc impair, et ce terme (B) appartient au type — (B, ). Enfin, élevant au carré les deux membres dans chacune des équations (i4) Gt faisant la somme, nous avons
«2 -+- ;t'2 ^ ,i"i | ji"'i — /,j2 ^ „i'2 ^ „i"2 ..| „j"'2^
Donc le terme (B) considéré est égal, sauf le signe, au terme (A), et le détruit. Donc, dans la somme A + B, la partie S(Ao)esl entièrement détruite par — i](B|).
Réciproquement, en résolvant les équations (i4) par rapport aux m, on voit que — 2(Bi) est entièrement détruit par S(Ao).
On déduit A, B, G les uns des autres par permutation circulaire de a, bj c; donc de même S(Bo) et — ^(G|) se détruisent, et S(Co), — ^(^1) se détruisent. Donc la somme A + B + C se réduit à zéro; c'est ce qu'il fallait démontrer.
Identification de la série avec ^u.
La relation (10) reste inaltérée si l'on y remplace la fonction F par une autre qui en diffère seulement d'une exponentielle paire du second degré; en d'autres termes, elle a lieu pour toute fonction '} (u) de la forme
'\>{u) = eS"'-+''F(u).
Ce fait tient à ce que le premier membre de (10) est doublement
