U .Ji V
cos bZ := ( I )" -r- }i 1
cos cz = { — iY^ — ~ ,
cos ax -f- i cos av = ( — i)« (j e - — - ,
4 r,(i) uv — -l' o. Q 2r / ^ I Y \
Costa: -i- i cos 6y = ( — O'^Ce * '' ^ ^ — ^ -,
"^ STo u ;52 V
coscj: -I- t cosc/ = ( — ij'^+iG e — r^ ^ »
Jq u .j 2 ^'
1 cos^o^i -^t cos;;oj>'i = — ;-ivG', e
. ç, Uj-i- Vi— IJ.II0 VVq ^ r^. o-
■r,wu,v, -i^'-'i ^ -^a-^i-^o
SToUiEToUoSrjv, STîVo
Dans cette dernière formule, on a, pour abréger, omis les arguments de 2<3, ."STo, 2^0 ; ce sont les mêmes que pour 3*0, a*,, s's respectivement dans (49)^ sauf remplacement de u\ , . . . par u , , ... ; !ji, V ont même signification que dans (49)-
Si l'on veut avoir maintenant les formules analogues avec la quantité </,, on peut transformer les fonctions 2r directement (t. I, p. 264), ou encore échanger a et b, to et co', u' et v', en changeant le signe de i.
Par suite de cette opération, les indices i et 3 des fonctions ^ se conservent, les indices o et 2 s'échangent.
Les lettres u, v n'ont plus la même signification qvie dans les dernières égalités (54), mais celles-ci
Voici, par exemple, deux formules :
^ &1 V Sg u
COS az = { I )« ;; ^ ,
i . . n, ^■'!'"''"'+'T27no2r2(v-+-u)
Dans ces dernières (55), v est réel et u parement imaginaire, tandis que l'inverse a lieu dans les formules (54)-
Expression des cosinus par des séries.
On peut, dans les formules qui précèdent, développer les fonctions 3 ou (j par les divers moyens donnés au Tome T. A titre d'exemple, nous formerons ici les développements qui sont donnés au Chapitre XIII de ce Tome I. C'est précisément pour développer les quantités cosa^ + i cos ay et les analogues, que Jacobi a trouvé les séries générales de ce Chapitre XIII, relatives aux fonctions doublement périodiques de seconde espèce. En outre, le même Chapitre donne, pour les logarithmes des fonctions a", des développements qui conduisent à des expressions tout à fait explicites des angles d'Euler eux-mêmes.
Le développement des formules (42) qui donnent cos a;^, ... se fait par les formules du Tome I, pages 43 1 et 45 1- Voici la préparation du calcul pour l'une d'elles
^ -^ UU' a'su' irfiv'
. 2 oj e * U" tfo u'
" UU' cf-iu' / \ iz U- ia'ii^' / /.iLo I
Comme p' est purement imaginaire, il faut remplacer les lignes trigonométriques, dans le second facteur, par des exponentielles
