CII.VIMTIU: XI. — LA CLBIQUE PLANE

Multiplication de l'argument.

Soil )• le jioinl d'argumcuL /.éro ()) =:r o, j'o = ' i ^>'3 = — 0 ' on a

I ■^.>''' ]— -rz-^^Ts — lax,,

\jx'-] = xi-^ laxix-i — tI — 'iaxiX3 = (x^ — ^3)(^2 -+- ^3 — iaxi).

L'égalilé (33), comparée avec (3i), donne donc celle-ci :

A-2 ' ' {X2 — X3y{X2-hX3—'iaXi)

Comme, d'ailleurs (l. I, p. 96),

il en résulte

P2.U — pu =■

ou encore, à cause dey= o,

( 8 «3 -1- I )3 j.^ xi X3

A» ' 9( -2^2 -1-^3 — laxi )*

Dans la mulliplication de l'argument par 2, on peut procéder autrement. Considérons les deux équations

qui, résolues par rapport aux )', donnent

yi ^ yi ^ r-t xi{xi—xi) x^f^xi—xi) X3{x\ — xiy

y]-^y\-^y\ x^a- x\-\- x\ yiyiyz ~ x^x^xs

La dernière égalité montre que le point )' est sur la cubique, en même temps que x. Les deux premières équations font voir que ce point j' est sur la tangente de la cubique en a', cette tangente a}ant pour équation

yi^'i-*- yi^l-^ ys^l-^ 20(7,^2^3 -f-^o^'s^i +73^1^2) »•

Ainsi )' est le point où la cubique rencontre la tangente menée au point X. L'argument de x étant u^ celui de y est — iu. D'après l'égalité (45) , le changement de u en — a correspond à l'échange des indices 2 et 3, comme on l'a déjà observé plus haut. En conséquence, la multiplication de V argument par 1 s'opère au moyen des formules

^^ xi{x\ — x\) x^{xl~x\) Xi{x\-X\)

c'est-à-dire que, l'argument de x étant «, celui de^' est iu.

On pourra donc obtenir piu^ p''^f^ en mettant, dans les expressions de pu et p'u, au lieu des x, les dénominateurs (49)- Faisons le calcul pour p' ^u ; au lieu de .r^ H- ^3 — -iax^ , on a

x^ixl — x]) -+- X3{x^i — xl) -T- laxiixl — xj)

= {X3 — X2)[X2X3{X2 -^ X3) -+- x] -+- -laxiixl-^x^Xs -t- xl')].

Remplaçant x] par son expression tirée de /=o, on obtient cette nouvelle forme

(.ro— X3 }^{X2 H- ^3 — ïaxi),

i^laprès laquelle on conclut

I , (Ha^ -h i)(x,x'i->^ x^x^, — x^x] — x^x])

a:^ i{X', — X3f{x.2^Xi — 2aXi)

Suivant une relation générale [t. I, p. lo."), éq. ('i5)], on a

Nous avons donc

I 'l;u (Sa^ -^ iy*(x2xl-^ X3XI — x^x] — x^x^^) Â'- p' u ~~ 3*(ar2-i-a73 — ^axiY*

Il est aisé de former maintenant les deux fonctions qui servent de fondement à la multiplication par un nombre quelconque (dénotées par x et y au t. I, p. io3),

X = iiif , Y = — -^ .

ClIAI'miK \l. - LA Cl UIOLE IM.A.NE. \'\-

\ oici leurs expressions :

{X3 — X.2)'*{Xi -f- J"3 — artJTi) X2Xr^ -+- X3TI — XoX] X3X]

{Xt — Ti)'*

Tandis que Y ne conlient pas explicitement la constante (f, X la contient, au contraire; mais on peut la faire disparaître en la remplaçant par

ox^ x^x^

d'après l'équation de la cubique. Celte transformation est très digne d'intérêt, comme on va voir. Elle donne d'abord

3XiX.2X3{ia —1) =—-{Xi-^X.2—X3){Xi -T- ()X2~()^X3)(Xi -^O^JTî ~f)X3^,

0 étant une racine cul)ique imaginaire de Tunité. On en conclut

'i-j(xiX2X3y(8a^ — I ) = — n(j"i — sa:-, -+- ^'^3),

le priidiiit II s'appliquant aux neuf facteurs qu'on obtient en prenant, de toutes les manières,

D'autre part, la transformation du dénominateur de X s'opère ainsi :

■ij".2-^3(-2^2 — -^3 — 2«.ri ) = X] -\-( X.2 -^ ^3 )3 = II ( .rj -^ Sj:", -j- tXs).

Il en résulte (5i) X = XjX-^ U( Xi -I- tx.-,— =.'x3),

avec cette condition que î et s' doivent être toujours différentes entre elles dans un même facteur, en sorte qu'il v a seulement six facteurs.

La signification géométrltjue de cette formule est fort simple : dans chaque triangle d'inflexions, il y a un côté (jui passe par le point d'inflexion choisi pour origine de l'argument. Il reste donc huit droites d'inflexions qui ne contiennent pas ce point. On obtient leurs é([uations en égalant à zéro les huit facteurs du numé-

râleur de X ; deux de ces facteurs sont ^3 et x-2', les autres sont soumis au signe II.

Sur les combinants.

La transformation qu'on vient d'opérer sur X peut être faite aussi sur les expressions de pu et de p' u, qui ne contiendront plus a, mais seulement les coordonnées du point x. De cette manière, tous les points du plan se trouvent représentés par des fonctions elliptiques. C'est une représentation analogue à celle qui a été envisagée au Chapitre précédent (p. 4o4)- En un point quelconque X passe une cubique appartenant au faisceau (43), où a est arbitraire. On prend constamment le point (o, 1, — i) pour origine de l'argument sur chaque cubique. Le point x a, dès lors, sur cette courbe un argument bien déterminé, relativement à des fonctions elliptiques dont les invariants dépendent de ce point x lui-même.

Les fonctions fondamentales pour la multiplication de l'argument sont figurées par les égalités (5o) et (5i). Parleur mojen, on obtiendra la solution des problèmes où cette multiplication intervient. Que l'on demande, par exemple, le lieu du point dont l'argument est la m"^""^ partie d'une période. Ce sera, pour m =^ 2, la droite X3 = Xi^ d'après l'expression de p' u •, pour m = 3, le numérateur de X devra être égalé à zéro; ce seront donc huit droites d'inflexions ; pour m = 4? on égalera à zéro le numérateur de Y; pour m = 5, le numérateur de Y — X (t. I, p. io3) ; pour ?n = 6, celui de \ — X — \-, etc. C'est surtout quand m est un multiple de 3 que ce lieu géométrique offre de l'intérêt. Soit ;w r= 3/z. Le point x jouit alors de cette propriété que Ton y peut mener une courbe, du degré n, et dont tous les points d'intersection avec la cubique sont réunis au seul point x. Par une analyse semblable à celle qui a été employée dans le Chapitre X, on reconnaît que le lieu est alors décomposable, comme on vient de le voir pour le cas m^ 3. Il se décompose en huit ou neuf courbes, suivant que n est divisible ou non divisible par 3. Nous renvoyons le lecteur, pour ces détails, au Mémoire original qui les contient (').

(') Recherches sur les courbes planes du troisième degré, par G. -H. Halplieii {Mathcniatische Annalen, t. \\', p. 359).

CIIAIMTIIE \I. — lUyiADlUllQUE GALCIIK. 449

En se plaçant à ce nouveau poinl de vue el pour s'allruncliir de la considéralion des coordonnées parliculièrcs (ju'oii vient (remployer, il faudrait mettre les expressions (87, 89) de p'i tt et P'Sk sous une autre forme et y remplacer les numérateurs z> et 'l par des combinants. On nomme ainsi, dans le sujet actuel, des covariants qui restent inaltérés quand on remplace y* par une combinaison linéaire de/ et II. On voit, en elFet, par les expressions réduites de/ et II, que toute cubique du faisceau s'obtient par une telle combinaison. Or il arrive, en premier lieu, (juc 'l est cfTectivement un combinant ; quant à cp, on change celle fonction en un combinant par la simple addition d'un covariant, multiplié par/. La relation (4o), qui a lieu en vertu de l'équation /== o, se change ainsi en une identité, fondamentale dans la théorie des cubiques. C'est ce que le lecteur pourra lrou\er dans les Leçons de Clebsch.

Biquadratique gauche.

Les considéralions générales, qui se trouvent au début de ce Chapitre, s'étendent tout naturellement aux courbes de l'espace. Il ne faut envisager qu'une coordonnée de plus. Les quatre coordonnées homogènes j",, .r^, .T:,, x., d'un point étant donc prises proj)ortionnclles à quatre fonctions elliptiques, dont les pôles communs soient en nombre /«, on définit une courbe du degré n. Les déterminants binaires, formés avec les coordonnées el leurs dérivées, ont in pôles; les déterminants ternaires, formés avec les mêmes éléments et les dérivées secondes, ont 3/i pôles. Les courbes dont il s'agit, quand elles n'ont pas de points singuliers (et, en général, elles n'ont pas même de points doubles), sont ainsi caractérisées par ces propriétés : la dévcloppable, dont une telle courbe est l'arcte de rebroussement, est du degré in et de la classe Zn.

La moindre valeur que l'on puisse prendre pour /2, c'est « =r 4, sans quoi la courbe serait plane. Par le premier mode de représentation (2), on voit, en effet, que, si n était inférieur à 4, les quatre coordonnées, s'exprimant linéairement par pu et p' n, seraient liées par une relation homogène du premier degré. Ce cas, // ^^ 4i est le seul dont nous parlerons et fort soiumairemcnt, bien (pi il |)uisse donner lieu à des dévelop|)enients très vari(''s el très intéressants.

45o DEUXIÈME l'AllTlE. — APPLICATIONS.

Pour la courbe dont nous nous occupons (/«=4)i les qualre coordonnées sont proportionnelles à quatre fonctions linéaires de pu, pu, cP "• ^^ prenant donc des coordonnées convenables, on aura

.Tj .r.» .Tu .r4

pu " pu ~ pu" i

i*ar les relations

p" = 6 JJ2 — l ffi , P'- = 4 P' — * 2 J> - ^3 = 3 ( PP" — ff-l P) — ff3:

on conclut

(53; criX!,=^6xl — IffiXsX:,, ^1 = |^3(-ri — é'a^O — é'sa?! ;

par conséquent, la coui'be est l'intersection de deux surfaces du second degré; c'est ce qu'on appelle une biquadratique. C'est une biquadratique quelconque, malgré la forme particulière des équations (53), dont la première représente un cône. On sait bien, en effet, que par une biquadratique quelconque passent quatre cônes du second degré.

Dans les équations (02), les fonctions elliptiques, auxquelles les coordonnées sont proportionnelles, ont un seul pôle, mais quadruple, u ^ o. Comme on l'a vu précédemment, cette particularité correspond simplement au choix qu'on a fait pour l'origine de l'argument. On va, dans un instant, voir quel est ce choix. On trouve immédiatement les propriétés élémentaires suivantes : quatre points dans un même plan sont caractérisés, sur la biquadratique, par ce fait que la somme de leurs arguments est une période. Deux points, dont la somme des arguments est zéro ou une demi-période, sont dans un même plan bitangent à la courbe, c est-à-dire cjue la corde qui les joint est la génératrice d'un cône du second degré passant par la courbe. A un point correspondent, de la sorte, quatre points, qui sont les extrémités de cordes analogues ; ce fait correspond à l'existence des quatre cônes du second degré. Le plan osculateur, en un point d'argument a, rencontre de nouveau la courbe en un point dont l'argument est — 3 w .Les seize points, dont les arguments sont zéro, une demi-période ou un quart de période, sont ceux oii le plan osculateur a un contact du troisième ordre avec la.

CHAPITRK XI. — BIQIADRATIQIE GAI OHE. 4^1

courbe ; le plan est surosciilatcui' on stalioniiairc. (^'esl en prenant un de ces points pour origine de l'argument variable qu'on réduit à zéro la somme des racines relatives à une coordonnée quelconque.

L'étude des points où le plan osculateur est stationnaire est analogue à celle des points d'inflexion des cubiques planes : loul plan qui contient trois de ces points en contient un quatrième. Il existe des tétraèdres dont chaque face est constituée par un de ces plans. Si l'on prend un de ces tétraèdres pour figurer les coordonnées, le second mode de représentation a les propriétés qu'on a signalées précédemment pour les triangles d'inflexions des cubiques.

Considérons une corde fixe G, dont les extrémités aient a pour somme de leurs arguments. Pour toute corde D, qui rencontre G, la somme analogue est égale à — a, puisque les quatre extrémités sont dans un même plan. Les cordes D sont les génératrices d'une surface du second degré contenant la courbe, et l'on voit que, sur une même surface du second degré passant par la courbe, chaque génératrice rectiligne, parmi celles d'un même système^ rencontre la courbe en deux points dont la somme des arguments est constante. Pour les deux systèmes de génératrices rectilignes, les deux sommes sont égales et de signes opposés. Les surfaces du second degré sont ainsi caractérisées par l'argument ± a. On a déjà vu que, pour les cônes, cet argument est zéro ou une demi-période.

On peut envisager, sur une de ces surfaces du second degré, une ligne polygonale formée successivement de génératrices reclilignes de l'un et l'autre système et inscrite dans la courbe. L'argument d'un sommet étant «, on a successivement, pour les autres sommets, les arguments

a — u, — ■i.a — u, iCi — u. — \a — u, ja — a, — ûa--u, ....

Une telle ligne ne se fermera jamais si a est quelconque. Au contraire, elle se ferme toujours, quel que soit m, si a est choisi convenablement. Ainsi, ces lignes polygonales se ferment toujours sur des surfaces du second degré particulières ; les quadrilatères se ferment sur l'une quelconque des six surfaces correspondant aux fpiarts de périodes ; les hexagones, sur l'une quelconque des

seiz-c surfaces correspondant aux. sixièmes de périodes. En général, les polygones de a/? côtés se ferment sur 2(/i- — i) surfaces différentes, quand n est un nombre premier, comme l'indique le

degré de la fonction — ,— > polynôme entier en pu (t. I, p. 99).

Considérons le second mode de représentation (5) et supposons que l'un des sommets Xi = Xo= x^^s= o du tétraèdre de référence soit pris sur la courbe même, en un point d'argument a. Les trois fonctions :r,, jTo, ^3 ont alors le facteur commun i(u — a). Si l'on fait abstraction de x.;, on voit que les trois coordonnées t,, X2, Xi sont proportionnelles à trois fonctions elliptiques ayant seulement trois infinis, d'ailleurs communs. Pour la cubique plane, perspective de la courbe quand le point de vue est pris sur cette courbe, nous trouvons ainsi la représentation elliptique ordinaire. La proposition relative au rapport anharmonique des tangentes (p. 4'^4) conduit à celle nouvelle proposition : le rapport anliarmonique des quatre plans tangents menés à la courbe par une corde (les plans, menés par la corde et les tangentes en ses extrémités, n'y comptent point) est constant ; c^est Vinvariant absolu des fonctions elliptiques correspondant à la courbe.

Nouvelle forme de l'intégrale elliptique de première espèce.

Soient y=: o cl 'i = o les équations de deux surfaces du second degré passant par la biquadratique. Pour un point quelconque de la courbe, on a

(54) /=o, 'f = o, fidxi -\-/.idTi-h. . .= o, z^idxi -^Oidx^-h. . . = 0.

Il est convenable ici de prendre, pour les polaires, la notation suivante, afin de ne pas confondre les polaires relatives aux deux surfaces :

\ I df df \ . ^ i [ do c)c

en sorte que/(.rx) représente le polynôme /lui-même.

Soient encore y^ ;3, t des points quelconques de l'espace et «, b deux plans quelconques

b — biXi -^ b-iXi -t- b^Xz -~ b'^Xs, = 6^.

nUAPITRE \I. — niQU.VDRVTrQUE GAUniIK. /|53

Si l'on imilliplio onlro eux les Jeux (lélcnninanls

en tenant compte des é{^alilés (54), on trouve, pour le produit,

= iadb — bda){f{xy)o{xz ) — f{xz)o{xy )\;

o ( xy ) oixz) o o ay az a da

by bz b db

d'où l'on conclut

,,, {y\.z^.x^.dx-A adb — bda , ,

( 35 ) -; ^-^ '-^ = -^ ï— = A du .

J(xy)o(xz)—f(xz)rj{xy) (JiX.OiX.a3.b',)

Cette égalité montre que les deux dilTérentielles sont indépendantes, la première, des points arbitraires y^ z--^ la seconde, des plans arbitraires a, b. En raisonnant comme on l'a déjà fait plus liaut (p. 4^5), on reconnaît que ce sont bien là deux formes de la différentielle kdu, u étant l'argument du point jC sur la courbe.

Cette forme nouvelle de la différentielle elliptique comprend, à la fois, celle qui s'est présentée pour la cubique plane et celle qu'on a rencontrée au Chapitre X pour la figure composée de deux coniques.

A l'égard de la cubi(jue plane, considérons la fonction

( ')G) F(x ) =f(xy ) o( XX ) — o{xy )/(xx),

dont on obtient ainsi la première polaire

. j 'iZiViix}— ... =/iyz)o(xx)-+-'i/{xy)o(xz)

( ~~ ? iy^ )/( 3cx) — -io{ xy )/{ xz ).

Supposant ./• en coïncidence avec )', on en déduit