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cn.vpiTKK XI. — \.\ n niQiK plane. i |i

ce que uous écrirons sous celle forme

Pf

y. élaul un facteur iudépeuclanl de n,

Quand on ajoute à r ia période i, les fonctions '■p«((') se reproduisent sans changement. Si l'on ajoute la période t, on voit, par l'égalité (42)» qu'elles se reproduisent multipliées par le facteur

2/71iH-2-t-. .-^-/)— I)

oLi'e P = ocPe-^P-^"'^'^,

qui est indépendant de n. Les diverses fonctions 'v„(r) sont donc proportionnelles à des fonctions doublement périodiques. Elles ont, par conséquent, le caractère propre à la représentation (5) des coordonnées.

Les fonctions es,, sont en nombre égal à p seulement; si, en eflel. on change n en n -h p, c'est comme si l'on ajoutait à v la période i sans changer n. Parla, chaque fonction .3i, se reproduit changée de signe (t. I, p. 254 ); 'f«+/j est égal à ±'f,i. On obtiendra les diverses fonctions a,, en prenant p nombres entiers consécutifs pour n.

Au cas p = 3, les trois fonctions 'v„ ont ensemble pour racines tous les tiers de périodes, au nombre de neuf. Elles représentent un triangle d'inflexions.

Suivant que l'on construit ."ï, avec une des quatre périodes

les trois fonctions c>„ représentent ensemble un quelconque des quatre triangles d'inflexions, comme on le reconnaîtra immé<lintement par la comj)aiaison de leurs racines avec le tableau (^).

Voici maintenant une proposition qui se rapporte seulement au cas où p esl un nombre impair. On peut, en ce cas, supposer [tour n des valeurs, deux à deux égales et de signes contraires, dont l'une est zéro. La plus petite est alors — -{/> — i). ^h^ pciil

442 UELXIÈME PAUTIE. — APPLICATIONS.

supposer aussi a ^= — -{p — iV 11 esl alors visible que o„(o) et c3«(o) sont composés, sauf le si^ne, des mêmes facteurs écrits en orclre inverse, en sorte qu'on a, puisque/) esl impair,

Mais, par les iclalions (4i, ^'i), <»n voit <pic la somme Scp^'^((') se reproduit, sauf un facteur exponentiel, si l'on ajoute à v des ^^i mes pai-iies Jg période. Cette somme est donc nulle aussi quand on suppose pour r une quelconque des /)"™'^* parties de période; elle a les mêmes racines que le produit des p fonctions o„. Comme, d'ailleurs, celte somme et ce produit sont, tous deux, homogènes et du même degré/?, leur quotient est constant, comme étant doublcmt-nl périodique et n'avant ni racines ni pôles. \\ns\^ quand p est impair, les fonctions '^ii{^') satisfont à V équation

lo^(i.-j = Ancp„(r),

ail A est une constante. En particulier, si p =:^ ?i et que l'on mette .r,, x^-, x^ au lieu des fonctions z>, on voit que Véquation cV une cubique, rapportée à un triangle cV inflexions, prend la forme

(43) f = x\ -^ x\-^ xl -^ Q>axiX23r^= o.

Cette équation ne change point si l'on remplace ^i, x-2, x^ par Xi, Hx2: ^-X:i, fj étant xme racine cubique de l'unité, ou si l'on permute les indices. Ces changements constituent un groupe com prenant i8 substitutions. Nous connaissons déjà un sous-groupe, comprenant g substitutions seulement. On l'obtient en joignanl à la première substitution la permutation circulaire des indices ; d'après les relations (4i, 42), les substitutions de ce sous-groupe peuvent s'obtenir en ajoutant à l'argument un tiers quelconque de période : par là, tous les points d'inflexion se permutent les uns dans les autres. Pour obtenir le groupe complet, il suffit d'adjoindre à ces substitutions le changement de v en — r ; de là proviennent 9 substitutions dont chacune conserve un point d'inflexion en permutant les autres.

Les points d'inflexion sont sur les côtés du triangle de réfé-

CIIAI'ITRE XI. — LA (XBHJLE l'LANE. 4 )•>

leucc. L'cqualion (4^^ nous donne ininiédialemenl , jtoiir l'un d'eux, les coordonnées

( 4 i ) j-i — o, Xi — --Ti.

C est à cclui-Iù c|ue nous allons alLiibuer l'argument zéro. Avec la forme (43) de y, la hessienne 11 a la forme également réduite

Il = — a'^{x\ -\- x\ -^ x\) -^ (là^ -\- \) x^x^x^.

Expression des fonctions elliptiques et des invariants.

D'après le premier mode de représentation (2), les coordonnées Xi sont proportionnelles à trois fonctions linéaires de pu et p' u^ d'où l'on pourra tirer inversement pu et p' u sous forme de fractions, du premier degré en x,, x^^ Xz-

Nous allons trouver ces expressions j)ar la formule (3i), où nous supposerons, j)Our le point z, le point d'inflexion (44 )• Nous prenons donc ^1 ^^ o, z-,=^ — z-i et, pour faciliter le calcul, nous inlcrverlissons x et z, employant ainsi la formule

Xill^iz)-^ x^W^iz) -+- a^sHjfs)

Avec l'hypothèse faite sur z, nous avons ainsi

I 3«2(ir2 -f- .rs) -^ ( 2a' -^i )5"| I {^n^-^\)T\

k^ 3 X2 — x^ — lax^ 3 a?2 -r- 3-3 — 'xaxi

Par la règle de dérivation (17), on obtient immédiatemenl

A'» 3 Xi-^ X3 — la Xi

et, en dérivant encore,

i^ „ a(8a»-4-i) i (Ti^a^Xi-^a^-X3y-^a{\—a^)(Xi-^x^)'i\ k* 3 ( a:'2 -T- a:"3 — la X\ Y

Le nimiérateur peut s'écrire ainsi

2 j [3a-(a72 -H 0-3) -,- (aa' -i- i)ar]2 — a(i — a^yx^-r- x^ — lax^ )'- \ ,

en sorte que l'on conclut

(46) Co = ^^^2 = ^^{&p'^u — p"u) = ^a(a^ — i).

Pour trouver le second invariant, on peut prendre un autre point

d'inflexion

37, = 0, Xi', .rj = — 0 (6* = i):

on a, de cette manière, pu = — a'-k-, p' u r= i(8a-'-f-i) k'\/ — 6,

(47) G3=^^3 = ^UP^'w — ^îP" — p'-«j =— ^U««-t-2oa3— ij-

L'invariant absolu et irrationnel a se trouve déterminé en fonction de l'invariant rationnel par l'équation

Ci (8a«-T-2oa3 — 1)2

qui est du quatrième degré par rapport à a^. Chacune des quatre racines se rapporte à un des quatre triangles d'inflexion.

On peut encore trouver les expressions (46, 4;) des invariants par la considération suivante : supposant ^3 = ^:0=1, on obtient ^, par l'équation de la cubique qui donne

(48) x^ -\- 6ax -r- 1 ^ o.

Mettant^' au lieu de ripu et observant que, d'après (45), jd'm est nul, on conclut que cette équation doit se transformer en

4^3 — Cij — C3 = o

par la substitution

I sa^-i- 1)37 -+- 6 a-

Ce procédé fournit immédiatement l'expression du discriminant. Le discriminant de l'équation (4^) est — 3''. 2''(8«'' -r- i) ; le déterminant de la substitution est — 6(8«''-:-i), et l'on en

conclut