iï'i'j')- ... = ^( y^ K/'^ yy )—/^ y^ ) "^^ yy

ce qui est zéro, quel que soit z, si jk est sur la courbe. En ce cas, l'équation F = o représente donc un cône du troisième degré, cône perspectif de la courbe, le point de vue étant en y. La fonction V est alors composée avec trois coordonnées homogènes

seiileincnl, X,, Xo, X;t par exemple,

(58) X, =-r,ji — j-i^i, ^i = -TiXi — rij-n, X3 = Tsji — x^js.

Pour une telle fonclion, on a, en prenant les dérivées partielles,

d ÔX3 '

OXi

d ' ^'' OX, =

ÔX2 •" ÔX3

o\i ■ •^- âXi

à \ d • ^^ 0X3 ) ~ Ox^

Si Ton prend maintenant un autre point :;: et que l'on pose semblablement

(59) Z, = ^iVi — -ijl, Z2 = ^2^4 — -3iJK2, Z3 = ^3JKV — ^4^3,

il en résultera

T^: "~r~ /j") — ^^ — — T" Zj3 ■ . — — -Z i —\— -^o • —{— ^3 ■ —T' /Si ■

t/Ai ■ 0\i 0X3 (Jx, ' ûxo Ox-i (Jxl

Si l'on a soin de prendre, au lieu de F (a:), son produit parj^^, on a efTectivement ainsi une fonction homogène de X,, Xo, X3, à coefficients indépendants dey. Elle donne lieu à la différentielle

(61) h du = ——-^-=-^- ,

ce qui, d'après les égalités (07, 58, 09, 60), peut s'écrire, o{xx) el f{xx) étant nuls.

3 /{xj^)o{xz)—fixz)oixy)

C'est l'expression (55) déjà trouvée pour la différentielle de l'argument sur la biquadratique ; il faut avoir soin d'observer que, dans les formules (55, 61), on doit prendre 2k' = 3k. Les formules établies plus haut pour les cubiques s'appliqueront ainsi à la biquadratique. Nous venons de voir que la polaire [ZX^] se remplace par

[ZX^]=^-^^/(xy)oixz)-f(xz)o(xy)y,

ciiAi'iTWE XI. — liiQi adhatiqi i; (lAiciiE. 4j5

la seconde polaire se calcule aisémciil par régalilé (^^7), cL l'on

Irouve

Mais la siibslilulion de ces expressions dans la formule (ai), par exemple, oflTrc trop de complications pour qu'on doive s'y arrêler. La manière la plus générale de réduire la dilTérentielle (o5) à la forme qu'on a trouvée dans le Chapitre X consiste à supposer que la surface f ^ o soit un des cônes du second degré passant par la biquadralique et que le point :; soit le sommet de ce cône. La polaire f[xz) est alors réduite à zéro. On sait que la quantité

<I> = o{xzY — o(xx)o{zz)

est le premier membre de l'équation d'un cône ayant son sommet au point c. En remplaçant, dans la première expression (55), '^{xz) pary/<I>, et observant que/ correspond aussi à un cône ayante pour sommet, on n'aura seulement que des coordonnées ternaires, qu'on pourra introduire explicitement, comme on vient de le faire dans le cas précédent. On obtiendra ainsi la transformation demandée.

Deux modes de coordonnées elliptiques dans l'espace.

La biquadralique a pour perspective, d'un point de vue arbitraire, une courbe du quatrième degré, à deux points doubles. Ainsi en un point quelconque de l'espace se croisent deux cordes de la courbe. Les quatre arguments des extrémités de ces cordes, arguments dont la somme est constante, constituent un système de coordonnées propres à représenter le point de croisement. Ce système de coordonnées, dont on pourrait, sans doute, tirer tics conséquences importantes, n'a point été encore étudié.

Un plan quelconque coupe la courbe en quatre points, que l'on peut, de trois manières différentes, partager en deux couples.

Si l'on a pris l'origine des arguments en un point où le plan osculateur est stationnaire, la somme des arguments dans un couple est égale et de signe contraire à la somme analogue dans le couple conjugué. En faisant abstraction du signe, on a donc trois

pareilles sommes, qui pcuvcnl cire envisagées comme clant des coordonnées du plan. Cliangeanl, par la dualité, les points en plans et réciproquement, on est ainsi conduit à un système de coordonnées elliptiques : chaque point de l'espace est déterminé par trois arguments, dont le signe est indifférent ; la figure à laquelle se rapportent ces coordonnées, c'est le système des surfaces du second degré inscrites dans une même développable, transformée de la biquadratique. Ce sont là justenaent les coordonnées connues sous le nom de coordonnées elliptiques^ et dont il va être question dans le Chapitre suivant.

CIIAPirUE XII. — ÉQUATION I)K LAMÉ. 4^7

CHAPITUE Ml.

ÉQUATION DE LVMK ( ' ).

Coordonnées elliptiques. — Équalion des polcnlicls en coordonnées ellipliques.

— Formules diverses. — Les argunicnls elliptiques, considérés comme des températures. — Problème de Lamé. — Fonctions de première sorte. — Fonctions de deuxième sorte. — Fonctions de troisième sorte. — Existence des fonctions de Lamé. — Transformation de l'équation de Lamé. — Solutions, sous forme algébrique. — Solutions, sous forme elliptique. — Intégrales définies. — Solution] du problème de Lamé. — Remarque sur les cas oii le nombre 2n est impair. — Sur la seconde solution de l'équation de Lamé. — Intégrale de Liouville. — Attraction d'un ellipsoïde. — Potentiel d'une surface ellipsoïdale. —

Développement de -• — Nouvelle manière d'envisager l'équation de Lamé. —

Intégrale sous forme de produit. — Produit des deux intégrales. — Solution.

— Discussion. — Calcul de lélémcnt simple. — Cas exceptionnels de l'élément simple. — Digression sur l'équation de Riccati. — Forme générale de la solution. — Décomposition de l'intégrale en éléments simples. — Recherche directe de l'intégrale. — Formules pour n = >. — Formules pour n — 3. — Formules pour n — !\. — Exemples de calcul pour n = 5.

Coordonnées elliptiques.

La dcfinilioii des coordonnées elliptiques, (jue nous allons rappeler, est fondée sur la considération d'un système de surfaces du second degré confocales.

Par X,, .r,, x^ nous dénotons les coordonnées rectangulaires

(') A consulter : Lamé, Mémoire sur l'équilibre des températures dans un ellipsoïde à trois axes inégaux {Journal de Math., i" série, t. IV, p. 126). — Liouville, Lettres sur diverses questions d'Analyse et de Physique mathématique, concernant l'ellipsoïde (ibid., t. XI, p. 217 et 2G1). — E. Heine, Ilandbuch der Kugelfunclionen, t. L — IIermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques. — Biuosciii, Théorèmes relatifs à l'équation de Lamé et Sur une application du théorème d'Abel {Comptes rendus, t. XCII, p. 325, et t. XCIV, p. 080).

(riiii j)oint (|uelconque de l'espace-, par />,, /).2, pi les carrés des axes d'une des surfaces; enfin, par l'équation

x] x} xl

px — s Pi— s Pi—n

nous représentons une quelconque des surfaces du syslème; 5 est le paramètre qui caractérise celte surface.

L'équation (i), quand on y considère les x comme donnés et s comme l'inconnue, a trois racines réelles, a, jj., v, qui sont ainsi rangées, avec les données, par ordre de grandeur,

(2) '^<Pl<li-<Pl<'' <P3-

C'est ce qu'on voit immédiatement par le signe du premier membre (i) quand on substitue, à la place de 5, l'infini négatif, puis des valeurs voisines de /?( , po, p-^.

Ainsi, par chaque point de l'espace, il passe trois surfaces du système, savoir: un ellipsoïde (5 = À), un hyperboloïde à une nappe (5 = [x), un hyperboloïde à deux nappes (5 ^ v).

Les trois racines A, jj., v de l'équation (i) sont les coordonnées elliptiques du point x. En fonction de ces coordonnées, on exprime, comme il suit, les coordonnées rectangulaires :

KPrj. — P^iKPn. — P^) EffectivemenJ, si l'on pose (4) (5— y>,)(5 — /j,)(5— 773) =/(*),

on conclut de légalité (3)

Zà p^-K Z^ fi.P'J.) ''

ainsi que l'apprend la théorie des fractions rationnelles. On voit par là que, si les x ont les expressions (3), l'équation (i) admet la racine s = X. Elle admet aussi, à cause de la symétrie, les racines IX et V. Par là se trouve justifiée la triple égalité (3).

Voici maintenant comment on va introduire, à la place de X, jx, v,