CHAPITRE XII. — ÉQIATION DK LAMÉ. /pg

Irols arguments ellipliqucs. Désiguanl par - un coefficient arbitraire d'homogénéité, posons

i-^eoi^p^-r-pY—^.pci (a, p, Y = 1,2, 3),

TÎp'J =—S-^lipi-^p2-^p3),

d'où l'on conclura

(5) t2(jvj — ea)=/'a— «•

Suivant que s est une des racines A, a ou v, pj est, par rapport à e^, e-2, <?;i, dans un intervalle difFércnt.

Nommons ?/, v ou vv l'argument u, suivant que s est une des racines )., ;j. ou V. Nous avons ainsi, d'après les inégalités (2),

A des périodes près, n et w — ■ to' sont réels, tandis que r — oj est purement imaginaire. Les fonctions elliptiques employées ici sont à discriminant positif.

La formule (3) se transforme en celle-ci

.. (pu— eo^)(pv — er^)p(w — ea^)

On peut y extraire la racine carrée, ce qui donne (t. I, p. 194)

Le signe choisi en extrayant la racine au second membre est indifférent : ce second membre, en efi'et, est une fonction impaire de chaque argument.

Si l'on augmente un des arguments de la période 20)^5 ^a. se reproduit sans changement, tandis que x^ et Xy se reproduisent changés de signe.

De ces deux circonstances, on conclut que, en faisant varier chaque argument dans l'étendue d'une demi-période seulement, on obtiendra tous les points compris dans un des huit trièdres formés par les axes de coordonnées.

La formule (7) présente cet avantage que, par elle, les coordonnées w, V, iv conviennent à un seul point, tandis que les coordonnées )., p., V représentent toujours huit |)oints à la fois.

46o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Équation des potentiels en coordonnées elliptiques. Soit a une arbitraire : posons

a Les X étant remplacés par leurs expressions (3), on a

comme on le voit par la décomposition en fractions simples. De Tégalité (8) résultent celles-ci :

(lO)

Reprenons léquation (i), qui devient une identité si Ion y met, pour 5, l'une des racines, ). par exemple. En différentiant par rapport à .r^, on a

"iXa. àl '^ xl,

'p d'où résulte

"^' dx:, (/)3t—X) *'().)' ^\dx^J *'(>.,)

Si l'onprend une autre racine ;jl, on conclutaussi de l'équation (i) ^ x\ v^ d\ d[i

.£. %A/ (J^ \^r\ ^L • "-'Ut

dl ixr^ v^ / dl \2

(Px—'>^)(P0L—l^) ' ^ÛXy,OX^

résultat bien connu et qui exprime l'orthogonalité des coordonnées curvilignes.

Différentions encore, dans l'équation (i), par rapport à .r^, il vient

d\ I dl \ 2 v» xl à^-l

Pi — X 'T'a — X/" '-'■^x V^-^c

•^ a:'i c/^ A ^ Xx

. , 8^â 4:r^*"rX) .ï,-(X)^l2^=o.

CIlAI'lTUi: XII. — ÉQUATION DK LAMÉ. /461

Si Ion ajoute, membre à membre, les trois pareilles égalités, obtenues en changeant rindice a, on voit, d'après les relations (lo), disparaître les termes du milieu; il reste

d'où Ion eonchit

Conformément à l'égalité (2), on a t2(P« — ea.)=/?a— ^M ^'■' p''« = — 4/(>^), t'> p"M = 2/'(X).

On en conclut

/' ( X ) (14) -2 p' ji du — — cil, T- p' J< d- u = — cP- X -h ^-. A dl-.

Par conséquent,

et, conformément à légalité (i3).

L'argument « satisfait, on le voit, à l'équation des potentiels; de même aussi les arguments \> et w. Prenons ces arguments pour nouvelles variables indépendantes et transformons l'équation des potentiels, à l'égard d'une fonction quelconque T. Voici la formule du changement de coordonnées :

y^T Ô'-T /du\-^ â'-T du ôv ÔT dHi

dx'^ du^ \dxy} dudv dx^ dx^ ' ' ' dx^ dx^

Suivant les égalités (12, i4), on a

Zà\Ox^) -*p'2a*'(X) /(Xj<l.'(X;'

du di> dxa dx.J^ ~

On oblienl donc

mais l'expression (9) de <I> donne

/(X) <Ï.'(X) = o'{l} - (X - ;jL)(X - V). Nous avons ainsi, pour transformée de l'cqualion

a celle-ci

(16) (pr — ptP) —^ -^(p.v-pa) — H-(pw pp)-^^ =0.

Formules diverses.

L'équation (3), différentiée par rapport à )., donne

d'où l'on conclut, d'après l'égalité (10),

V /^\' ±cb'ry >- ^>--!-^)(>>-v) fX-;x)(X-v) a

Les coordonnées curvilignes m, c, w étant rectangulaires, on déduit de cette dernière égalité et de ses analogues, pour ç et w, l'expression suivante du carré de l'élément de longueur :

f/p2 — -.^{pu — pv)ipu — p iv)chû

-n T2(pp —pU){pV—pw)di>-^-r--JipW — pu)(pw — pi>)dw^.

Sur l'ellipsoïde 1/ = const., l'élément aréolaire est •

dz =^'^-^(pu — pv)(pu — pw){pv ~pw) —dw.

CIIAIMTIIE XII. — ÉyiATlUN DE LAMÉ. l\63

L'élémenl (Je li)ngii(Mir , normal ;i I fllipsoïde, a pour expression, siii\anl la précédenle lonimlc,

dp = — ■-. \/{pu — pv){pu — pw)du,

le signe moins, que nous niellons ici, se ra|)porlanl au cas de la normale extérieure, qui est celui dont nous nous servirons plus loin. EfTeclivement, t étant supposé positif, et a variant de zéro à tu), du est négatif à l'extérieur.

11 en l'ésulte

du , . dv ,

-T- «a = — '(pv — p w ) —7- dw.

dp i

Surla surface de rellipsoïde,uue des coordonnées,iv par exemple, étant laissée constante, on décrit une ligne de courbure tout entière en faisant varier l'autre coordonnée v dans l'étendue d'une double période. 11 suffira ensuite de faire varier l'autre coordonnée w dans l'étendue d'une période pour parcourir une fois toute la surface. Mais, pour la symétrie, nous préférerons faire varier les deux coordonnées dans l'étendue d'une double période, ^w! pour p et 4^1^ pour w\ la surface sera décrite ainsi deux fois. Cette convention sera admise dans les diverses intégrales que nous aurons à prendre plus tard, par rapport à i' ou iv; nous nous dispenserons d'y indiquer les limites, qui seront toujours supposées distantes d'une double période.

Les arguments elliptiques, considérés comme des températures.

L'équation des polenliels (i.j) est aussi l'équation d'équilibre de la chaleur. La coordonnée elliptique «, qui satisfait à cette équation, exprime donc la température, dans un certain état d'équilibre. Il s'agit de définir cet état.

L'argument réel u peut acquérir la valeur zéro^ les points correspondants sont à l'infini. Il peut acquérir aussi la valeur o) (demi-période réelle), qui donne x, = o : les points correspondants sont dans un des plans coordonnés. Il faut, toutefois, observer que l'équation u = const. (ou \ = const.) représente un ellipsoïde du syslème(i); l'équation u=^(.o représente ainsi un ellipsoïde

;,64 DEUXlÈMi: PAUTIK. — API'UCATIOINS.

aplali, c'osl-ù-dire une partie du plan jr, = o, celle qui cslinlérieui^e à l'ellipse donl l'équalion est

Pz — Jh Pi — Pi

C'est, pour emprunter l'expression de Lamé, une plaque elliptique : u Si l'on suppose que l'espace solide soit infini cl plein, que la température unité soit celle de la plaque elliptique, et que zéro soit celle de la sphère de rayon infini (') », la température, en

un point quelconque, est -• Telle est la définition de l'état d'équilibre envisagé. Le lieu des points à température - est un ellipsoïde;

les carrés des axes de cet ellipsoïde sont proportionnels aux trois fonctions pu — e, , pu — Co, pu — ^3.

Les points du plan jr, = o, extérieurs à l'ellipse (17), constituent ce que Lamé appelle une plaque indéfinie, à vide elliptique. C'est riijpei'boloïde à une nappe v = {ù. Semblablement^ le plan ^2= o est considéré comme formant deux plaques hyperboliques, la première, à une nappe, limitée par les deux branches de l'hyperbole

Px-Pi Pi — Pi

la seconde, à deux nappes, comprise à l'intérieur de l'une et l'autre branche de cette hyperbole. La première représente l'hyperboloïde à une nappe t' = to + tu', la seconde l'hyperboloïde à deux nappes ■w=^hi -\- w'. Enfin le plan j:., = o constitue une plaque indéfinie, hyperboloïde à deux nappes w = w'.

Voici les états d'équilibre dans lesquels la température est proportionnelle k V — w ou à (V — w' :

« Si l'on suppose que l'espace solide soit infini et plein, que la température zéro appartienne à la plaque indéfinie, à vide elliptique, et que la température i soit celle de la plaque hyperbolique

a une nappe », la température en un point quelconque est — ; —

( ' ) Lamé, Mémoire sur les axes des surfaces isothermes du second degré, considérés comme des fonctions de la température {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1" série, t. IV, p. io3; iSSy).