CHAPITRE XII. — ÉQUATION DE I.AMf

Le lieu des pomls à loiMpt-ralure — - osl un li\ pcrholoïdc à une

nappe; les earrrs de ses axes sont itroporiionucls aux trois fonctions pr Cgt.

Si l'on suppose que la t cm |)i'' rature zéro a|)parlicnne à la plaque indéfinie, la température i à la plaque liyp«*i'ljolique à deux nappes,

alors la température en un point queleoncpie est '—■ Le lieu

des points à température est un hyperboloïde à deux nappes;

les carrés de ses axes sont proportionnels aux trois fonctions P^y — eoL-

Problème de Lamé.

Le Mémoire sur l'équilibre des températures dans un ellipsoïde à it'ois axes inégaux « a pour objet la recherche des lois qui régissent l'équilibre de la chaleur dans un corps, solide et homogène, terminé par une surface de forme ellipsoïdale. Je ne considère, dit Lamé, que le cas le plus simple, celui où la paroi extérieure du corps serait directement entretenue à des températures fixes, mais variables d'un point à l'autre de cette surface ('). ... Voici le problème d'analyse correspondant : la surface de l'ellipsoïde ayant pour équation (-) » u = Uq^ il s'agit de trouver une fonction T, qui vérifie l'équation (i(3) et qui, pour u = u^^ se réduise à une fonction donnée, de v et de w. Celle fonction 'J' exprimera la température au point dont les coordonnées sont //,

Le problème, dont on vient de donner l'énoncé, était déjà résolu pour le cas où la surface du corps, au lieu d'être ellipsoïdale, est sphérique. C'est en considérant la solution propre à ce cas particulier et par induction (pie Lamé est parvenu à la solution générale. Nous devons ici nous restreindre, autant que possible, à l'exposé de la partie analytique; aussi nous bornerons-nous à indiquer une idée fort simple qui conduit tout naturellement aux recherches analytiques, que nous avons hâte d'aborder.

Supposons la fonction T développable suivant la série de Mac-

(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, i" série, l. IV, p. laH. C) Ibid., p. i33.

IL 3o

laurin par rapporl aux coordonnées rectangulaires x., ^o, X3, en sorte qu'on ail

T = To -H T, -i- T 2 ~ . . . H- T„ -H . . . ,

T„ étant généralement un polynôme entier, homogène et du degré n. Il est manifeste que T„ doit séparément satisfaire à l'équation des potentiels (i5)r dont le premier membre est ici un polynôme entier, homogène et du degré (/i — 2). Ce polynôme doit se réduire identiquement à zéro; de là ^(/i — i)n conditions linéaires, imposées aux coefficients de T„, ennombre|(/ï-|-i)(/2 4-2). La différence de ces deux nombres est in-^-i. Ainsi, dans la série T la plus générale, qui satisfasse à l'équation des potentiels, le terme T^ contient linéairement an H- i arbitraires.

Si maintenant on remplace les x par leurs expressions elliptiques (6), T,i devient une fonction homogène et entière, du degré /?, par rapport aux trois variables

ou encore une fonction entière de ces variables, de pa et de p'u\, cette fonction est du degré n, quand les quantités (18) sont envisagées comme étant du premier degré, pu du deuxième et p'u du troisième degré. En outre, ï« se trouve être une fonction de cette même nature par rapport aux arguments v et w\ de plus, elle est symétrique relativement à u, r, (v.

C'est donc une telle fonction, du degré /z, symétrique en m, v^ tv, qu'il faut trouver, avec a/i -j- i arbitraires, et satisfaisant à l'équation des potentiels (16).

Soitj^=/(u) une fonction de la seule variable u et satisfaisant à l'équation différentielle

où A et B sont des constantes. Prenons T =/{u)/{v)f{iv); on aura

Ou' J(u) ^

Les deux autres dérivées partielles analogues sont proportion-