CHAPITRE XII. — ÉQUATION DE LAMÉ

nellcs à AjK' + B, A pu- -+- B, cl celte fonction T salisfail à l'équation des potentiels. Si donc on peut trouver o.n-i-i systèmes de constantes A, B, de telle sorte que, |)our chacun de ces systèmes, il existe une solution j- =f(u) de l'équation (19), fonction entière du degré //, chacun des produits correspondants f{Li)f{v)f{w) fournira un terme de T„ : le problème sera résolu. Ces systèmes (A, B) i^euvent clTectivement être trouvés et c'est par là que vont commencer nos recherches analytiques. Le coefficient A, pour tous ces systèmes, a une seule détermination : A = n(;i 4- 0.

Fonctions de première sorte.

Considérons la fonction

composée linéairement avec les dérivées de pu (la lettre u est omise pour simplifier l'écriture), à indices d'une même parité. I^e produit dey par pu est une fonction de cette même espèce, où n est remplacé par (/?-{- 2). Toutefois, le coefficient de la plus

haute dérivée n'est pas l'unité : c'est -• Ou a donc

(21) n(n -h i)yp = p'«'4- Aip(«-2'-H Ajp'"-*' +

Il en résulte

/"— /i{n -h i)yp ^ (a,— Ai)p"-2^-(a2— Aj)jy'-4 -~

Si l'on a donc

(22) «1 — Ai = B, Oi — A2=Bai, «,, — Aj^Ba,, ..., il est visible que y satisfait à l'équation

(23) y— n(n-\-})ypu = Bj-,

qui est celle (19) dont nous nous occupons, f^es coefficients A,, A2, . . . sont composés linéairement avec les coefficients inconnus «) , a-2, . . • , en sorte (pie les équations (29.) sont linéaires par rapport à ces derniers. Mais le nombre de ces équations surpasse d'une unité celui des inconnues a. Pour qu'elles soient compati-

blcs, B doit èlre racine d'une équation qu'on obtient par l'élimination des «, et le degré de cette dernière est égal au nombre des équations (22), c'est-à-dire ^ /? -M si /« est pair, ^(n — 1) si « est impair.

Pour obtenir elTectivement la formule (21), il faut décomposer en éléments simples les produits J^J^''"^ dont est composé linéairement le produit dey par p. Cette décomposition s'opère facilement au moyen du développement de pu (t. I, p. 93).

\ oici les premières formules :

P" = 6 P" -^ l\ ^2, PP' = T2 P'")

PP" = Tô J' " + 5 .-^i P + l gz , PP'" = âV P' -+- 5 5'2 P',

par le moven desquelles on trouve

n = 2. :>' = p — i B, 71 = 3. JK = p'.

« = 4, r=p"-i^p-^-ïh^'-U-2,

n = j, jK = p'— §Bp',

On peut encore faire le calcul autrement. Si n est pair, y est un polynôme entier en pu, et du degré ^ n. Prenant pu pour variable indépendante, on a cette transformée de l'équation (23)

Supposant, pour y, un polynôme entier, du degré ^ n, à coefficients inconnus, on le substituera dans cette équation. Le terme du plus haut degré disparaît et l'on doit identifier à zéro un polynôme entier du degré 4 rt. De là (^^ -1- «) équations linéaires, comme précédemment.

Supposons, en second lieu, n impair; y est alors le produit de p' u par un polynôme ^, du degré ^{n — 3) en pu. Posant y = zp' u, on a cette transformée de l'équation (aS),

(4p'-^2p-*"'3)^-^3(Gp2} «-,)Ll =[(n-3){n-^^)p-^B]y, et fe calcul peut s'effectuer comme pour la précédente : on doit