CHAPITRE XII. — ÉQLATION DK LAMÉ
identifier à zrro un polvnôme cnlicr du degré r,(n — 3); de là j(/i — i) équations linéaires.
Fonctions de deuxième sorte.
Soit n un nombre impair et, posant
y = :i /jj u — Ca,
prenons pour :; une fonction qui soit encore de la forme (20), sauf changement de l'indice de dérivation,
L'équation différentielle (23) se transforme ainsi :
="-^-^ ^'=[(;«-0(«-2)p+B-eaN-.
On peut mettre :■' sous la forme
^'-p'(aop(«-5'+a,p(«--)^...); le second terme peut alors s'écrire ainsi
4^P - ^p)(p- Cy) (aop("-'^--a,p'«--' , . .)= ?oP"'-" -^ i3,p>«-3' -4-. . . ,
comme on l'obtiendra par la décomposition en éléments simples. Par la première analyse du paragraphe précédent, on reconnaît alors que B est racine d'une équation dont le degré est ^(n +1). Si l'on veut mettre z sous la forme d'un polynôme entier en p?/, du degré ^(n — i), on emploiera la transformée
(\P^— ff-îP — ffi) -TT^ ~(lOp5-4- 'leoip-r-Ui— 2^2)-^
dp' ap
= f(n — i)(«-f-2)p-l-B — CaJ-.
Voici les premières fonctions :
« = I, ^ = 1, B =^ Ca,
Fonctions de troisième sorte.
Soit n un nombre pair cl, posant
y = z \/{pu — e,^)(]Mi -C'y) ,
prenons
Voici la transformée de l'équation différenlielle (aS)
(p — ep)(p— ^y)
[(rt— •.ij(n-f-3)pH- B + 3ea]5.
On peut opérer directement, par décomposition en éléments simples, sur cette équation. La constante B est racine d'une équation dont le degré est ^/2. Si l'on veut prendre z sous la forme d'un polynôme entier en pu., du degré ^{n — 2), on emploiera la transformée
d^ z dz
(4p'— ^2p — o^-s) -j-i — (i4p'— 4eo(P — 4ei— ^ ^"2) ^
= [(n — 2) («-4-3)p-T- B-f-3ea]s.
Voici les premières fonctions :
n = 1, 5 = 1, B = — 3^jx;
n = 4, z = p — \e^-{--p-B, B^-r- loc'afi — 35eà— 7^2 = 0.
Existence des fonctions de Lamé.
Quand n est impair, B peut être déterminé des diverses manières suivantes : i" par une équation de degré r,{n — i), correspondant aux fonctions de première sorte; ;^" par trois équations du degré ^^(n-f-i), correspondant aux fonctions de deuxième sorte et aux trois indices a. C'est donc, en somme, une équation du degré in -f- 1 qui détermine B.
Quand n est pair, on a une équation du degré ^/i + i pour les fonctions de première sorte, et trois équations du degré ^11 pour les fonctions de troisième sorte. C'est, en somme, une équation du degré 2/1 + 1 qui détermine Ij.
