CHAPITRE XII. ~ ÉQIATIO DK LAMÉ

Pour conclure à rcxlslence des {in -h i) ronclioiis, il faut s'assurer que les {in + i) racines B sont inégales. On verra plus loin cette preuve, avec celle delà réalité des racines B.

Nous allons, d'une autre manière encore, établir l'existence de ces fonctions.

Transformation de l'équation de Lamé.

Prenons ^ u pour variable indépendante et cliangeons aussi Tinconnue, en posant

Voici la transformée :

z" — in ^ z'— \n{n-^\) y— ) — lanjvj 5 =^ {[/if/i -:- i) j)2'j :- B Js. P 'J L \P '■'/ J

Mais on a (t. I, p. 96)

1 (PJi 4 \V "^ en sorte qu'il reste

(25) z^—in ^c'-- {[«(an — i)pu — B]^ = 0.

Cette équation, analogue aux précédentes, peut être traitée de la même manière, et l'on reconnaîtrait ainsi qu'elle admet une solution de la forme

si B est racine d'une équation de degré in-\- i. On serait ainsi conduit, d'un seul coup, à toutes les fonctions précédentes. Mais nous voulons suivre une autre voie.

En prenant p\i pour variable indépendante, on a la transformée

— (2/1 - i)(6p2— \ ^2)^^ -i- ^[n{in-i)p - B] z =- o.

OEUXlfcMK PAIMIK. — APPLICATIONS.

Changeons ainsi les notations

■'.« = m, p ^ -r, ^x""— gox — ff3 = ti{x). L'équation s'écrit alors sous la forme

(9.6) 'c, -^^ —Um — 0'-^' -.- -^[ A m(m—\)'S' — ^B] z =o. ' ajc- - ' dx

Nous allons, au lieu de la variable x, en prendre deux, Xy et .Ta, pour établir une liomogénéité. A cet effet, nous poserons

Z = .r^" c. •!> = .r? o, x^ = x<iX^

en sorte que Z el <I> sont des fonctions homogènes en jr, et X2, ayant les degrés respectifs m et4-

Soit posé, comme il est d'usage dans la théorie des formes,

m {m — i ) Oxi I ')iZ

ni{m — i ) OxiOX'i

ni{ni — 1) Oxi

On trouve, par différentiation, les accents servant à dénoter les dérivées prises par rapport à x^

m( m — i)Z,2^= (m — \)x'l'~-z' — x'.p-^Xiz",

m{m — i)Z22 = m{ni — i)^^""^^ — 2(m — i)x'^^~^ Xi s'-4- x'^^''' x]z".

En supposant, pour un instant, une fonction analogue T=: x^t, composée avec une fonction t de la variable x^ on aura, pour T, des formules semblables, par oiî l'on vérifiera l'égalité

in(m — i)p(p — I jCToîZii— 2T12Z1,— T,,Zo2)

= [p(p — \)tz" — 2(p — I )( m — i)t'z''T- m{m — i)t" z]x'^'^+''-''.

Prenant ici /? = 4 ^t mettant <!>, au lieu de T, nous avons

m(m — l)(*22Zll — 2'l'i2Zi2-|- 'ï'il Z22)

— [ os" — 2 ( ''^ "~ i)'j''z'-^ j^ m{m — I ) "?" -^ ] ^'2 )

ciiArnui: xii. — (^qlatio.n de lamé. 47^

on sorte que réquallon i'-iS) dcvienl

(27) 'KoZ„- •.'.<l'i2/M2--<l'n7-2- — -^^— -Z.

La rcclierclic des fonctions de Lamé revient donc à celle des formes binaires Z, qui sont identiques au co^'ariant

composé a\'ec L et une forme 4> du quatrième degré.

II faut maintenant observer que m est le double de n, en sorte que les fonctions de Lamé correspondent aux formes Z de degré pair. Mais le problème algébrique actuel peut être posé, dans les mêmes termes, pour les formes de degré impair. Quand on l'aura résolu, on aura des solutions de l'équation de Lamé dans des cas nouveaux, pour lesquels n sera la moitié d' un nombre entier.

Profitant de la forme invariante donnée à l'équation (2^), nous pouvons effectuer sur les variables une substitution linéaire. Soit une telle substitution

Le changement des variables x en^ n'altère la forme du cova-

riant (27) qu'en le multipliant par D-. Ainsi, avec les variables ^,

on a encore l'équation (2^) où seulement B est remplacé parBD-.

Il existe des substitutions linéaires qui réduisent 4> à la forme

(28) ci, = ^4 6P^f^2^ï|,

et nous rappellerons plus loin quelles sont ces substitutions. Le covariant (27) devient ainsi

(r2-Pç?)Zn-4P,^^2Z,2-(ïî-Pfl)Z,,

= t?ZH-6P^,ï,Z,,+ :fZ,2-P(f?ZH-2Pï,?2Z,,-^^iZ22).

La dernière parenthèse n'est autre que Z. En posant donc

(»n a l'équation

dont nous allons maintenant nous occuper.

Solutions, SOUS forme algébrique.

Soll, en emjiloyant ralgorilhme Cj^^ pour les coefficienls de la puissance ni''"^'' du binôme,

L'équation (3o) fournit cette relation générale entre les coefficients

(3i) Gf„,rtA.^2 — 6 PG^'r-2 «/.-<- Gi'r-\«/.-2= Cjljia/,.

Il y figure seulement des indices d'une même parité pour les lettres a, en sorte qu'on a deux systèmes d'équations, entièrement séparés, l'un pour les coefficients d'indices pairs, l'autre pour les coefficients d'indices impairs. C'est dans la composition de ces deux systèmes que s'accuse une différence entre les deux cas à distinguer suivant la parité du nombre ni.

Occupons-nous d'abord du cas où m est impair. Les coefficients a sont en nombre m -\- i ; il y a ~(m-\-i) équations de chaque sorte. Les deux systèmes sont composés, de part et d'autre, des mêmes équations, sauf changement des indices o, 2, 4, • • -, contenus dans un système, en m, m — 2, /« — /\, ... contenus dans l'autre. La possibilité d'un de ces systèmes impose à h la condition de satisfaire à une équation dont le degré est^(m -h i). Quand on prend, pour A, une racine de cette équation, les deux systèmes deviennent, à la fois, compatibles. Dans chacun d'eux subsiste un coefficient arbitraire; en vertu de leur symétrie, on arrive à cette conclusion : Quand m est impair, h doit être racine dUine équation dont le degré est i(m-f-i), et, pour chaque racine h, il existe une solution sous la forme

z = «çi/(?ï,?i)-^'?2/(?l,^f),

où a et b sont des constantes arbitraires.

Prenons, en second lieu, le cas où m est pair, m= 2/?. Les deux systèmes d'équations linéaires sont différents : l'un, celui qui contient les deux équations extrêmes (A^ ^ o et A^=2«), contient [n -f- i) équations, l'autre en contient seulement n. Gha-

CIIUMTUE XII. — ^i^lAlION DE I.AMÉ. ^75

cun d'eux reste Inulléré si l'on change chaque indice /. en •'. n — /, . Pour rendre un de ces svslèmes compatible, on devra soumettre// à une équation de condition ; l'autre système ne sera satisfait alors que par des valeurs nulles, données aux inconnues qu'il contient. On voit donc déjà deux équations de condition, une pour chacun des deux svstèmes : on peut choisir l'une ou l'autre pour obtenir une solution. Soient maintenant

L'équation (3i), combinée, par addition et soustraction, avec celle qu'on obtient par le changement de k en [m — A), donne lieu à deux équations toutes semblables, contenant l'une les lettres c>, l'autre les lettres c. Chaque système se décompose ainsi en deux autres qui, au premier abord, paraissent coïncider complètement. Il n'en est rien cependant et ces deux systèmes dilTèrent entre eux, de part et d'autre, par la dernière équation.

En premier lieu, envisageons, pour A-, les valeurs de même parité que n. La dernière valeur de A, savoir k ■= «, donne l'équation

c'est l'équation (3i) elle-même, où l'on a mis \ia et n pour m et A". Il n'y a point d'équation semblable pour les inconnues c, et effectivement, d étant nul, ces inconnues sont en nombre inférieur d'une unité à celui des inconnues h. Ce sont donc bien deux systèmes différents; ils contiennent respectivement^/? -- i et^/? équations, si n est pair; ^(/z -i- i) et ^(« — i) équations, si n est impair.

Prenons, en second lieu, les valeurs de A* dont la parité est opposée à celle de n. La dernière valeur de A, savoir k = n — i, donne les deux équations

'-'2 «-2 "ri-3 — ( ^in « l> ' ^2 «-2 — ^-'iii-î ) '^'i-l'

^în-2 ''«—3 — ' ^în '' — " ' '-'2«-2 ^^ ^2«-2 /<'« — 1-

Les deux systèmes diffèrent, on le voit, par un signe dans la dernière équation; ils ne peuvent être, tous deux à la fois, compatibles. Ils contiennent, tous deux, des équations en même nombre, ^(/i -+- i) ou r; n, suivant la parité de «.

^jO DEUXIÈME TARTIE. — APPLICATIONS.

Si Ion rend compatible l'un des deux systèmes (6), les c sont nuls et Z est symétrique en ^,, ^g. Si l'on rend compatible un système Cy les b sont nuls et Z esl alterné. Si les coefficients qui subsistent sont d'indices pairs, Z ne contient que des puissances des ^, à exposants pairs ^ si les coefficients sont d'indices impairs, il n'y a que des exposants impairs. En résumé, pour déterminer A, on peut prendre une quelconque de quatre équations, dont trois ont le degré ^n ou i(/z-|-i). La quatrième a le degré ^w + i ou T,{n — i), suivant que n est pair ou impair. C'est ce qu'on a vu déjà par d'autres moyens.

Quant aux formes de Z, les voici. En indiquant par Sp une fonction svmétrique du degré/?, on a les quatre formes ci-après :

L'équation récurrente (3i) permet d'établir aisément, par la méthode de Sturm, que les équations à inconnue h ont toutes leurs racines réelles et inégales. Considérons, en effet, une suite ind(''finie de quantités «j,, rt^+oi ^'/j+'o • • déduites les unes des autres suivant celte loi (3i), en supposant «y,2 = o, «y, r= i . Ce sont des polynômes entiers en A, dont les degrés vont constamment en croissant d'une unité, d'un indice au suivant.

L'équation (3i), mise sous la forme

montre que ces polynômes forment une suite de Sturm. De ]>lus, pour h infiniment grand, leurs parties principales sont successivement A, /i*, h^ , . . . multipliés par des coefficients positifs. La suite, de h = — yz à A = -f- co, perd donc autant de variations qu'elle contient de termes. Donc tous les polynômes a ont leurs racines réelles et inégales. Or, en prenant p = o ou p = i, nous avons ainsi les coefficients a qui doivent figurer dans Z, à condition de prendre h de telle sorte que la suite de ces coefficients a s'arrête. L'équation de condition est donc celle qu'on obtient en égalant à zéro un certain terme a : elle a toutes ses racines réelles et inégales.

niAPITHE XII. — É^JIATION DK L.VMÉ. 477

Solutions, sous forme elliptique.

Il nous faul rappeler quelle est la substilulion linéaire par laquelle le pulvnùme ^P prend la forme réduite (^8). Soit posé

e, — ei = c)C^, eî—e3 = ç)a-i, Cj~- ei = ç)0^,

d'où résulte

e, = 3(c'-— 6-), ei=3{a-—c-), «3=3(^- — a-).

La substitution demandée est exprimée {)ar les formules

pi^Ti — eix.2)= c)il>c[a^i—(c -h ib)-.2\.

( pX2=rt;i (C ~ ib )l.y,

moyennant laquelle on trouve aisément

On devra prendre

p' = — 4 • 9^ ^- c- «'• {c — ib )2. D'autre part, le déterminant de la substitution est

1 8 ibca ( c -~ ib )

par conséquent, D- = —■ = ! Ainsi la Ibrnie ré-

duite (28) s'obtient par la substitution (33) et Ton a

62 — ^3 e-i — «3 ni{ni — i){ei—e^)

Bien entendu, on peut intervenir les indices de e,, r^, (?3 ; il y a donc diverses substitutions conduisant au même but, et qui doivent fournir les mêmes polynômes Z.

Pour revenir à la variable primitive .r = — > on trouve, par les

478 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIO>'S.

lorimilcs de la substlliuion linéaire ci-dessus, les résultais suivants :

{x—e{f—{e.— ei){e.— es,)=^ /<?i— «,(^2 ^ ^2)^

(j-— 63)- — (ej— f,)(e3— ^2)= /e, — 63(^1 — ?!)•

Rappelons-nous maintenant que l'on a x ^^ ]'i'j --^ 'p\u, et que l'inconnue primitive j^ est égale à ^(p'u)~".

Le résultat que nous avons acquis pour le cas où m est impair (m= in) donne lieu à la conclusion suivante : L' équation de Lamé (sS), dans laquelle n est la moitié d'un nombre impair et dans laquelle on prend, pour B, une racine d'une certaine équation, dont le degré est n + ^, a pour intégrale gékérale le quotient d'un polynôme entier en p^ u par (p' ^ u)".

Prenons maintenant le cas le plus important, celui où n est un nombre entier. Il faut y faire apparaître les fonctions de l'argument u, qui seules doivent subsister.

A cet effet, considérons la formule de duplication (t. I, p. go) pour y retenir seulement ce résultat que le produit paup'-u est un polynôme du quatrième degré en j3j, avec l'unité pour coefficient du premier terme. Même chose pourra être dite du produit (j32'J — e,)p''-'J. Formons directement ce dernier polynôme, d'après ses racines, qui sont jd^oj et j3((o' + ^oj), au nombi'e de deux seulement, doubles par conséquent. Prenant les expressions de ces racines (t. I, p. 54), nous concluons, en extrayant la racine carrée,

p'-jy/p-ij — ei = (jvj — e,)2(^j f.,)(e,— 63).

Nous avons pareilles formules avec les indices permutés. En comparant ces dernières égalités avec les précédentes, nous concluons

^ y/ei — ^2 \/ei—e-

p'Ui^pu — e,

(34) ^ z]-^U= , p'iiWpn — e,,

I\/ei—e.j, Vi — M = , ' f>'l"v/p» — ^3-