CHAPITRE XII. — ÉQUATION DE LAMfi

Les diverses formes (3^) de Z sont homogènes, du degré >.ri en Ç, et ^2 ; P'ir cette dernière substitution, elles deviennent homogènes et de ce degré par rapport aii\ trois quantités \/ pu — t^a et contiennent, en outre, le facteur (p'^ «)". Mais, puisqu'on a supposé x-i^^ I, Z, n'est autre que z : en revenant à y, on voit disparaître (j)'^ «)", puisque // = 3 -j; par conséquent, on obtient les /onctions de Lamé en substituant, dans les fonctions (Sa),

I \/e2— es /

Vei — e.2

Vï — Vi= , - - - /p " — ^3 ;

les constantes P, k doWent être prises ainsi

Cl — «3 e.2 — 63 7.n{'i.n — i)(e2 — ^3)

Ces fonctions se reproduisent ou se permutent les unes dans les autres^ quand on échange entre eux les indices de c, , ^oj <?3-

Chacune des fonctions symétriques S peut être mise sous la forme d'un polynôme entier en ^\ +^l et ^^^^ et ne contient alors, à l'égard de la première quantité, que des puissances dont les exposants sont d'une même parité. Par là on reconnaît que les quatre fonctions sont entières en pu, sauf des facteurs \/pu — t'^; c'est ce qu'on a déjà trouvé par le premier procédé ( ' ).

Intégrales définies.

Nous revenons maintenant aux notations que nous avons employées au début de ce Chapitre : m, v, w désignent trois coor-

(') Malgré une grande dissemblance dans la forme, ce second modo de formalion des fonctions de Lamé est précisémenl celui que M. E. Heine a donné dans le bel Ouvrage, inlilulé : Ilandbucli der Kugelfunclionen ; voir, dans la 2" édition (1878), t. I, p. 372. L'analyse employée par M. Heine n'a pas permis à cet éminent analyste d'apercevoir les conséquences qui sont relatives au cas où n est la moitié d'un nombre impair. C'est M. Briosciii (|ui, par d'autres moyens, a reconnu, le premier, ces cas nouveaux où l'équation de Lamé est inlégrablc al^'éjjriqucmcnt.

48o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

données elliptiques. Par U, V, W, nous désignerons une même fonction de Lamé avec les trois arguments u, r, w. On mettra des indices, cl l'on écrira Ui, V|, W), quand on voudra, en même temps, représenter une autre fonction analogue.

Si l'on donne à u une valeur fixe i/o, alors v et w sont les coordonnées d'un point quelconque sur un ellipsoïde fixe. En faisant varier r et (v, chacun dans l'intervalle de la demi-période correspondante, (.0 pour V et co pour n', on obtient un huitième de cet ellipsoïde. Nous conviendrons de faire varier ces deux arguments, chacun dans l'intervalle d'une double période, 4^' et 4^; de celte manière, la surface de l'ellipsoïde est décrite deux fois.

Nous allons avoir à considérer des intégrales doubles, où les variables seront v et (v; nous nous dispenserons d'y mettre des limites : il sera entendu que ces intégrales seront prises, comme on vient de le dire, entre des limites constantes, par

exemple de zéro à 4 —^ et de zéro à ^i^i, pour les variables réelles

(• — tu ,

— ^ — et w — co .

Le carré de toute fonction de Lamé e^ un polynôme entier en pu, et la décomposition en éléments simples donne

U-p u = a -^ b'p u -T- c'p" u -T- e'p'" «—.... Ces fonctions ont pour intégrales générales

~ h tu -+- c p' Il — ep'" u

— b"Çu — c'p' u -r- ep'" u

dont les premières parties, seules, ne sont pas doublement périodiques. Les intégrales étant prises dans les limites ci-dessus, on a donc

f\idv = ji{a lo'—br/), fW^dtv = 'i{a to ^ b r,),

fW^pvdv^ 4(«'w'— b'-r^' ), fW^pwdw — 4(a'oj — b'r^).

De là résulte (35)

Au lieu de V- si W- , si l'on met VV, et WW,, produits de

//(P '^ — P «') V^ W-2 dv dw

= i6{ab' — ba') (t,co' — r/w) = 8{ab' — ba' )l-.

CllAI'ITKE XH. — ÉQUATION DE LAMÉ. 48 1

deux fonctions dlfTérenlcs, l'inlrgralc analogue est égale à zéro. Efifcctlvemcnl les équations difrércnticllcs

v';-(A,j)r-.iî,)v,

donnent

[(A, A)pp + B, - B] VV, -- VV; - V, V" = ^- (VV, - V, V'^

La fonction VV, — \'| V admet la période U<>' ', l'intégrale du premier membre est donc égale à zéro. On a, par conséquent,

(A,-A)f\Yipvdv =(B-B,)/VVirf,>,

(Al— A)/WW,]M^' dw = (B — Bi)/W\V,rfip;

d'où l'on déduit

( 36 ) ff(p^ — P ^^ ) VV, WWi f/p d^v = o,

égalité où la démonstration suppose A| — A et B, — B différents de zéro, mais qui reste vraie quand une seule de ces conditions est remplie.

Solution du problème de Lamé.

Revenons au problème de Lamé. La température Tq, donnée en chaque point de l'ellipsoïde (u = Uo)^ peut, on le suppose, être représentée par une série dont le (/i -f- 1)'^""^ terme se compose de la somme des (2/1+ i) produits VW, affectés de facteurs constants, et formés avec les (2/1 + i) fonctions relatives au nombre n. Soit à déterminer, dans cette série, le coefficient d'un terme en VW. Multipliant par (pv — j3fv)VW et intégrant dans les limites ci-dessus, on voit disparaître tous les termes, sauf un seul. Pour ce dernier, l'intégrale est fournie par l'égalité (35), en sorte que le coefficient est représenté par une intf'grale définie

^ = o, /.,'/, • f f'Yoip^- P «' ) VW f/p diV.

S{ab — ba )iT.j J •' ' '

La température, permanente à la surface, étant ainsi représentée par la série

(37) To=2''^VW,