II. 3i

!\S2 nELXlÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

■^oil Uo 1^ fonclion U où l'on met rargunicnt Uo, au lieu de ii. on aura, pour la température d'équilibre en un point quelconque,

Le problème do Lame est ainsi résolu, sauf examen de la possibililt' pour ces développements en séries; mais cette élude ne rentre pas dans le cadre du présent Ouvrage.

Remarque sur les cas où le nombre i/i est impair.

On n'a point, jusqu'à présent, étudié quel parti, dans le problème de Lamé, on pourrait tirer des solutions de l'équation où ?i est la moitié d'un nombre impair. Il est cependant certain que ces solutions peuvent servir aussi à représenter des états de là température en équilibre dans un ellipsoïde.

Prenons pour exemple le cas le plus simple, /i = ^. L'équation (20), où l'on doit supposer B = o, admet les solutions ^ = i et :: = p'j. Ainsi l'équation

a pour intégrale générale (a et b étant les constantes arbitraires)

J= (f'i"j -(a-r- bpUi).

L'équation difFérentielle restant invariable si l'on y augmente u d'une période, il est clair que le même changement, opéré dans l'expression de y, fournit encore l'intégrale générale sous une nouvelle forme. C'est là une propriété, extrêmement intéressante, de la division par 2; mais nous ne devons pas l'approfondir actuellement, réservant cette étude pour le tome III, quand nous nous occuperons des théories relatives à la division de l'argument. C'est alors aussi que nous reviendrons sur l'expression algébrique de y en fonction de pu., telle que la pourraient fournir les formules (34) relatives à ç, et q^,. Pour le moment, contentonsnous de mentionner quelques conséquences.

ciiArrrui; xii. — ï^olation de l.vmé. ^Si

Prenons, avec l'argumenl r, hi l'onction

qui est réelle, comme — . — Prenons, avec Targument «r, la fonction

réelle aussi, comme (v — w'. Prenons enfin, avec l'argument m, la fonction

U = {p'lu)~h

ceci posé, la fonction UVW représente un état d'équilibre de la température. Cet état pourrait être aussi représente au mo^en des fonctions de Lamé; mais ce serait alors par une série illimitée.

Sur la seconde solution de l'équation de Lamé.

Revenons à l'équation diflérentielle, telle que Lamé l'a considérée : n est un nombre entier et la constante B est choisie de manière qu'il}' ait une solution j>', fonction de première, de deuxième ou de troisième sorte. L'équation admet alors une seconde solution dont la forme est fort dillérenle et que l'on peut figurer ainsi

comme on le sait par la théorie généi'ale des équations différentielles linéaires. Pour obtenir :; explicitement, il faut décomposer

— - en éléments simples, puis l'intégrer. Examinons cette décomposition.

La fonction y n'a pas de racine multiple et chacune de ses racines est aussi racine de sa dérivée seconde. Ceci résulte de l'équation difTéreiiticlle et de celles qu'on en déduit par différentialion,

j-z^ [„(„-i-,)pu-^H]j',

y"' = \ niii -i- \) ]) a -r- V»] y -\- n{n -{- 1) p' u .y, ....

484 DEUXIÈME PARTIE. — ArPLICATIONS.

Toulc racine commune à y et y' appartiendrait non seulement à y, mais encore à^'", puis àj>'^, . . ., ce qui ne se peut.

Les demi-périodes, qui peuvent être racines de y, fournissent,

dans la décomposition de — -^ des termes p{u — (Ojt) et des termes

constants (t. I, p. :>.o5). Soit maintenant u r=r a^ une autre racine àey. La méthode de décomposition consiste à développer suivant les puissances ascendantes de (« — «,). Comme iii est racine de y\ on a

.>' = («— "i) /i -i-^("— "i)Vi' -^••■,

en sorte que, dans le développement de —5 le résidu est nul, c'est-à-dire qu'il v manque le terme en On a donc

et le signe sommatoire s'applique à toutes les racines de t, les demi-périodes s'y trouvant comprises. De là résulte

On peut grouper les termes pour ne laisser subsister qu'une seule fonction ^. Comme j^- est une fonction paire, on a, à la fois, avec mêmes coefficients, les deux termes 'C{u zh a^), qui fournissent ensemble la somme

pu — piii

Si iif est une demi-période, on n'aura qu'un terme, mais on pourra l'écrire

'2 pu~e..

L'intégrale peut ainsi être mise sous la forme

du r . l^y p'uVu

F« est une fonction entière de pw, /a est le facteur irrationnel