CHAPITRE \ll. — ÉQUATION DE LAMft
<|iM figure dans la fonction i' de Lamé. Le quotient de p'u pur fu est aussi un de ces facteurs ^ u, complémentaire de fa, composé avec celles des trois racines carrées \/pu — Ca, qui n'entrent point dans /a. Par là on obtient, pour la seconde solution ;, l'expression
La première partie est analogue aux fonctions de Lamé, la seconde en diffère essentiellement en ce qu'elle n'est pas périodique. Mais on doit signaler encore une autre diffc'rencc, que l'on va reconnaître en examinant ce que deviennent les deux fonctions pour ;/ = o.
La fonction j\ du degré r,n en pu, devient infinie et sa partie
principale est — , si nous convenons de l'alTecter d'un facteur con-
stant convenablement cboisi. Précisons complètement z en prenant^ comme on vient de le dire et posant
" du
alors, pour u infiniment petit, la partie principale de z est m"+'.
C'est seulement la coordonnée ii qui peut devenir nulle; cette valeur de u répond aux points à l'infini. C'est aussi avec le seul argument u que la seconde solution z va intervenir dans des questions nouvelles que Lamé n'avait pas eu à examiner. Mais déjà, en changeant un peu l'énoncé du problème de Lamé, on peut en montrer l'utilité.
Supposons, à la surface de l'ellipsoïde Kq, la température ])ermancnte représentée par la série (37). Admettons maintenant que cet ellipsoïde limite, non plus le solide intérieur, mais l'espace extérieur, indéfini, solide et plein ; alors la série
T = — VW
représenterait, dans l'état d'équilibre, la température en un point quelconque de cet espace; clic serait nulle à l'infini.
Revenant à la notation U, au lieu de y, pour une fonction de Lamé avec l'argument u, nous emploierons la notation Z pour la
fonction :; correspondant à U. L'argument de Z sera toujours ii. De la définition (38), on conclut la relation
^ ' ' au au
Intégrale de Liouville.
Les coordonnées u, <-, w étant celles d'un point a", soit x' ur> autre point quelconque et désignons par /• la distance de ces deux points. Il s'agit de calculer l'intégrale
I ==//(,.- -P"OVW^,
qui, étendue, comme il a été convenu, à tout l'ellipsoïde (u) sur lequel se trouve jr, doit être une fonction de a et des coordonnées de x'. Nous allons d'abord montrer que cette fonction de u satisfait aussi H l'équation de Lamé.
Le point x' n'étant pas situé, on le suppose, sur la surface de l'ellipsoïde, /• ne devient pas nul et l'on peut diflTérentier sous les signes d'intégration. On a donc
du-i ■'•' ^ ■' \du^ r] i
On sait que - satisfait à l'équation des potentiels, en sorte qu'on a identiquement
et nous pouvons substituer cette expression sous le signe d'intégration. Mais on a
\0v^ r) Ov r r dv J r av'^
Les termes, dégagés du signe d'intégration, étant périodiques^ donnent zéro dans l'intégration définie. Soit maintenant
y'= (Apu-^\i)r
niM'iiiti; Ml. fyiArioN" i>i: i.xwi. /187
1 ccjiialioii cic Laine à la([iicll<' salislail L» ; nous |)uu\()n> rcinpla- (h
cer —7—; par ( A ji^- + B)V; doue
\0v^ rj J r //( j) »• -- j) M ,) ^^ V ( — - ) ort- fAr = / f ^ ■' -^7! rA- r/n-.
Mènic Iransforniallon élanl faite |)Our l'iiilé^rale analogue où n s'échange avee r, on a, sous le signe d'inlégralion, le facteur
— {piv — pu){Xpv^B) — {pu — pv}i\piv-i-B)^(pv--pn'){\pu-~\i). Il vient ainsi
i = (Ap« - B) f f( pr - pn)\\\ 1^^' = ( Ap« -- B)I.
C'est ce qu'on voulait prouver, et l'on en conclut que 1 est une fonction linéaire de U et de Z, «Z-h ^U, a el b dépendant uniquement des coordonnées du point a:'. C'est, de plus, une fonction continue, tant que ?/, en variant, ne devient pas égal à la coordonnée a du point x'.
11 est clair que I tend vers zéro quand l'ellipsoïde est infiniment grand, c'est-à-dire quand a est infiniment petit. Or Z tend vers zéro, tandis que U devient alors infini. Donc, si le point x' est intérieur à l'ellipsoïde (u), l'intégrale I est égale à «Z, et il nous reste à trouver la quantité «, fonction des coordonnées de x'. Pour y parvenir, considérons la combinaison suivante, qui, d'après l'égalité (Bq), sera proportionnelle à a :
,, , .. d\ , dlj /,, dZ ., d\] \
du du \ du du ;
Si l'on met T à la place de UVW, le premier membre peut s'écrire ainsi
dv . „, d \ r r dv , I d'Y
/'/'(P"-p«^)i.AvT^^;.-|'/"(pr-j.n>)^:\/
(iKV ■ — ,—
/• du
OU bien encore, en tenant compte de ce que relli])seȕcie est parcouru deux fois,
488 DEUXIÈME l'AUllE. — APPLICATIONS.
Ici les iiolatloiis, (.K'jà expliquées (^p. /\62 ), soiiL les suivanLcs : t/o- désigne rélénicnl aréolairc de rdlipsoïde, qui doit être, dans
l'intégration, décrit une seule fois, et le symbole -,- s'ajiplique à une variation suivant la normale à cet ellipsoïde.
Les fonctions T et - satisfont, toutes deux, à l'équation des potentiels. Elles sont continues et bien déterminées à l'intérieur de rdlipsoïde; la seconde seule devient infinie au point x' . D'après
un théorème de Grcen ('), la différence (4 0 est égale à -^ T', si
l'on désigne par ï' la fonction T où l'on met les coordonnées de a:\ au lieu des coordonnées du point variable x. Nous avons donc ainsi a et, en définitive, pour le cas où le point x' est ititérieur à rdlipsoïde,
Avant de passer outre, examinons une sorte de paradoxe qu'il
est bon d'éclaircir.
On pourrait envisager, au lieu de la combinaison (4o), cette
autre
' du du
qui doit fournir zéro pour résultat, tandis que le théorème de
Green semble lui assigner pour valeur -^ S', si l'on prend
S = ZVW. Effectivement, comme T, cette fonction est continue et finie à l'intérieur de l'ellipsoïde et satisfait à l'équation des potentiels.
(^ette objection embarrasserait beaucoup, si l'on ne remarquait point que S n'est pas une fonction bien déterminée à l'intérieur de l'ellipsoïde, condition essentielle à laquelle satisfait T, fonction entière des coordonnées x^,. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer ceci : le point x ne change point si l'on change à la fois //, (% IV respectivement en aw — n, 2(o' -f- v, 210-f- 20)' — tp, nou-
(') Voir, par exemple, le Cours d'Analyse de l'École Polytechnique , jiar M. C. Jordan, t. II, p. 214.
ClIAriTIU: \M. - ÉQIATION DK LAMf:. 4^9
veaux arj;uni(iUs (jiii on! encore les formes admises pour //, \', (v, et qu'on peut relier aux picmicis jtar une série continue dans laquelle le point X revient à sa position première, sans sortir de l'ellipsoïde. Mais la fonction S ne revient pas à sa valeur initiale ; elle n'est donc pas /ue/i dcterniinre à Tintc-ricur de rdlipsoïde. Elle l'est, au contraire, à Vextérieur ; car la suite des valeurs qu'on vient d'examiner fait passer la coordonnée // par la valeur tu), et celle-ci correspond à l'ellipsoïde aplati, dont les points sont intérieurs à tous les autres ellipsoïdes du système (i).
La formule (4^) subsiste quand le point x' est sur rdlipsoïde; car le premier membre représente un potentiel de surface qui doit rester continu et le second membre est elTectivement continu. Comme les coordonnées // et ii sont alors égales, on a
rr ...fi'^'fi»- 8-v'Wuz , ,
Et maintenant, suivant une remarquable observation faite par Liouville ( ' ), on peut en conclure, pour le cas d'un point extérieur,
ce, .^-^^'dvdw SttV'WZ'U , ,^ ,
ElTectivement, le second membre est, en ce cas, à l'égard des coordonnées de x\ cette fonction S, qui est bien déterminée; il est, en outre, iini, satisfait à l'équation des potentiels et coïncide, à la surface de l'ellipsoïde, avec le potentiel cherché. Mais on sait que le potentiel cherché a seul ces propriétés; il est donc bien exprimé par le second membre de l'égalité (44) ^t celle-ci se trouve prouvée.
Attraction d'un ellipsoïde.
En introduisant l'élément aréolaire et parcourant une fois seulement la surface, on peut écrire l'égalité (44) sous la forme
VWrfj /iTrV'W'Z'U
'■A>«-l-ij(>^- vj
(') Journal de Malhéinatiques pures et appliquées, i" série, t. XI, p. 225.
490 DKUXIÈME PAUTli:. — APPLICATIONS.
Soient )■ cl 1' deux aiilrcs points, liés aux points x et x' par les conditions
Pour CCS points, les quantités analogues à d7 et /• sont k-d(7 et kr. Entendant maintenant que d'y et /• se rapportent à y el y', on aura donc
Au premier membre, l'intégration est faite sur la surface d'un ellipsoïde homothétique au précédent et qui a pour équation
yi . .T- , y
Pi— A Pi— l~ Pi
Au second membre, \ ', W, Z' contiennent les coordonnées du point x' .
Supposons A" variable et, prenant deux ellipsoïdes homothétiques, correspondant à A" et à A' -j- <^A", cherchons la longueurMe la normale, élevée au premier, au point ), celte longuevir étant com- |)rise entre le pied y et le point de rencontre, infiniment voisin, avec le second ellipsoïde. Si l'on désigne par c,, c^, C;j les cosinus des angles de cette normale avec les axes et par dl cette normale, on devra avoir
d'où Ton tire
^ Pa— A ^ '
On a, d'autre part,
^ p-j.- >• ~ \J ^ « Pa- a;^ " \I ^(p--~ >0^ * Nous avons, par l'égalité (10), l'expression de celle dernière
ciiAi'iTiM- MI. — f:yrAri(».\ m: i.\y\(-.. ^ç)\
([uanlllc et nous pouvons coocimc
d'après ([uni. I"<'galilc ( 1'>) piend lu forme \\\ rinh •2-V'W'Z'U
■ff
\/-/il)d{k-').
Le produit dldy exprime un élément de volume compris entre les deux ellipsoïdes, en sorte cpic le premier membre représente le potentiel d'une eouche, infiniment mince, limitée par ces deux ellipsoïdes liomothéliques. Au second membre fif;urent , dans ^ ', . . ., les coordonnées du point x\ variable avec /.', tandis que le point attiré estj)^'.
Nous nous bornerons à considérer le cas le plus simple pour les fonctions qui fii;urent ici. le cas ai = o; on a alors L = i cl Z = (t. L'égalité
.46) f failli ^..rW^^jn/^dUc^-)
fournil lexpressiou du j)otcntiel d'une couche homogène, dont la densité est l'unité. On remarquera que, si le point attiré était intérieur, il aurait fallu prendre l'égalité (4^); on aurait u, au lieu de u' 1 au second membre, qui serait ainsi indépendant du point attiré; c'est le théorème de Newton, d'après lequel l'atlraction d'une pareille couche sur un point intérieur est nulle.
Il s'agit maintenant d'intégrer le second membre (4^) depuis le = o jusqu'à A- = I. On aura, de la sorte, le potentiel de l'ellipsoïde (i^) sur le point fixe j^', si l'on a soin de considérer ?f' comme la coordonnée du point x\ variable avec k.
L'intégration par parties donne
/ U' d ( /. 2 ) — U (k-—l) -i-f(i — A-2 ) du' .
l^orsque A est nul, le point x' est à l'infini et a' est alors nul. La partie intégrée est donc nulle aux deux limites et l'on doit considérer seulomcnl linlégrale
49^ DEUXIÈME PAUTIE. — APPLICATIONS.
Comme w' csl la coordonnée du point a', on a
Remplaçant x' par t J)', on conclut
JKa
<^a— <?<î)<ea— «y)
,'û ^*^' ^a— CpUCa— t'y)
On peut réduire les transcendantes ^ à une seule d'entre elles par l'emploi de la formule
■X pu— e^
Comme les coordonnées du point alliré subsistent seules, nous mettrons x au lieu de 1'; nous supposerons aussi, ce qui est permis, A = o pour l'ellipsoïde envisagé. Avec ces conventions, voici le résultat final : le potentiel de l'ellipsoïde homogène
— -f- — - 4- — ^ = I (pi<Pî<P3),
Pi Pi Pz
sur un point extérieur, de coordonnées .r,, Xo, ^3, est égal à la somme de trois quantités , dont deux transcendantes , savoir
