X-, .rr

Pi—\ y>2— >v /^3— >^

Potentiel d'une surface ellipsoïdale.

Revenons aux nolalions priinilives, JC désignant un point de rdlipsoïdc, .r' le point attiré. Supposons la densité o de la matière attractive sur la surface, au point x, représentée par une série, comme il suit

h étant un coefficient constant, qui change d'un terme à l'autre. S'il en est ainsi, le potentiel T se trouve déterminé par une série analogue

Celle-ci convient au cas du point exLérieur. Pour le point intérieur, on mettra U'Z au lieu de Z'U. Pour un point situé sur la surface, on mettra UZ.

Réciproquement, ce potentiel à la surface, c'est-à-dire pour un point situé sur elle, étant développé sous la forme

on en conclura lu densité de la distribution

Développement de -

Parmi les résultats généraux que l'on conclut des intégrales (42, 44)) l'i^i" <Jcs plus importants concerne le développement de > inverse de la distance des deux jioinls x, x' . Supposons, pour

(îxcr les idées, u'<C n, c'est-à-dire j: intérieur à l'ellipsoïde sur lequel se trouve ./'. En ce cas,-? qui satisfait, pour ^, à l'équation

des potentiels, pourra être déveloj)pé en une série -ALVW, la fonction U, et non Z, étant indiquée pour les raisons qui ont été expliquées précédemment. Nous admettons ici la possibilité du développement et nous en cherchons les coefficients /i.

Ce développement étant substitué sous le signe d'intégration (44)i il rie reste, au premier membre, d'après les formules (35) et (36), que le seul terme

8/i(ab'—ba')-\:,

qui doit reproduire le second membre (44 '> en sorte qu'on a

h = Ti 7 ~ '

{i/i -i- 1 ){nO — oa ) et finalement

V'W'Z'VWU , ,

Il -+- \){ab' — bci )

Tel est le développement demandé; il représente, en elFet, la fonction; mais nous ne pouvons ici entrer dans jilus de détails à ce sujet.

Nouvelle manière d'envisager l'équation de Lamé.

L'équation de Lamé

(47) r" = [«(ft-+-i)p«-r-B]7

n'avait été considérée que pour les valeurs particulières de B dont nous avons parlé; en découvrant qu'on peut l'intégrer, quelque soit B, i\L Hermite a ouvert aux fonctions elliptiques un nouveau champ d'applications, dont le Chapitre suivant montrera tout le prix. Déjà dans le Tome I (p. 235) et dans celui-ci (p. i3o), nous avons effectué cette intégration pour les cas w = i et « = 2. Nous allons maintenant nous occuper du cas général, en supposant que II soit un nombre entier quelconque. Ce nombre peut être supposé positif, puisque n[n -^ \) reste inalj,éré par le changement de n en — (« -}- 1)-

ciiAi'iriti: \ii. — (-grATioN dk LA.Mf:. 49-^

Soit )' une fonclioii doublemniL j)rriodi(|iic ilc (Iciiviriiic espèce, ajanl le seul pôle u^ o, multiple d'ordre n et, par conséfjuenl, n racines. Sa dérivée seconde y" a les mêmes mulliplicaleurs; le quotienty" '. y est doublement périodi(pie. Si celte fonction y est choisie de telle sorte que toutes ses racines a[)partiennent aussi à y", alors j)":j^ a le seul pùle u ^ o, qui est double; décomposé en éléments simples, ce quotient ne comprend que deux termes n{n -\-\)pu H- B, et B est une constante. Ainsi, une telle fonction, si elle existe, satisfait à une équation de la forme (4~)- Mais on a imposé, en somme, aux constantes indéterminées de }', n conditions, tandis qu'une fonction doublement périodique de deuxième espèce, avec le pôle u ^ o, multiple d'ordre /^, abstraction faite d'un facteur constant, contient (« -f-i) constantes arbitraires.il faut donc conclure que l'on pourra satisfaire à toutes les conditions, en laissant B arbitraire; on pourra donc intégrer l'équation (47) ail moyen d'une fonction doublement périodique de deuxième espèce, convenablement choisie. C'est en cherchant cette fonction qu'on aura une preuve rigoureuse.

Intégrale sous forme de produit.

Prenons^ sous la forme

le produit II se composant de n facteurs qu'on obtient en mettant n arguments a, b, c, . . . au lieu de a. Ce n'est pas l'expression la plus générale d'une fonction de deuxième espèce, avec le seul pôle II ^ o, multiple d'ordre « ; il y manque un facteur exponentiel eP". Mais, si l'on introduisait ce facteur, on trouverait de suite qu'il doit être constant. Prenons la dérivée logarithmique de^; ce sera

Dififérenlions encore

^()6 DEUXIÈME PAUTli:. — Al'PLICATIO.NS.

Mais l'équation précédente nous donne

\y ) Zd \\pu — pa ) ■A^{pu — pa)^pu—pb)

Invocjuons maintenant la formule d'addition

pour conclure

y" „ I 'V^ (" p'//— p'«Vp'» — p'h)

■ij^ {pu — pa)tpu — pù)

Il nous laut maintenant décomposer la dernière somme en éléments simples. Prenons un terme. On a

I Cp'« — P'«)<^P'" — p'f'^

i {pu — pa){pu — pb)

= i{pu-^pa^pb)^ ^^^ '^^ [r(K-^a)— r(i<-^6;— ^a + ^ôj.

Pour s'assurer de cette formule, on observera que tous les termes V sont immédiatement déterminés par la théorie générale, sauf le terme constant, et c'est ce dernier qu'il faut vérifier. On le fera aisément, soit en considérant le second terme du développement suivant les puissances ascendantes de m, terme qui est 2(pa-^-jo6), soit en envisageant la valeur particulière m = — (a + fe).

Réunissons maintenant tous les termes Ç(w + a)-^!^a entre eux et égalons à zéro la somme de leurs coefficients; faisons de même ^owx 'C,{u -{- b) — -^^, etc. Ceci nous donne n équations. Pour abréger, mettons

pa = 'J., pa = -x\ pb = '^, p'b=y,

Voici alors ces équations

niAPITRE MI. — ÉQUATION DK LAMÉ. 497

La somme des n piemicrs membres csl ideiiliqucmcnt nulle, eu sorte (jiie ron a seulcmciil (// — i) équations disùncles entre les n inconnues, comme on l'avait prévu, l'inconnue p avant été supprimée. Supposant ces équations satisfaites, il nous reste

- — = n{ii -\- \)pa --{in — ijlpa,

comme on le voit, en réunissant les divers termes.

L'intégration effective dépend ainsi de la résolution d'un système d'équations algébriques entièrement déterminé, savoir le système (49 )> joint à celui-ci

avec cette dernière équation

On ne pourrait assurément espérer une résolution explicite de ce système d'équations, si l'on ne trouvait, dans le sujet lui-même, des ressources nouvelles. Ces calculs fournissent néanmoins, avec facilité, les solutions, déjà connues, pour les cas /i = i et /z ^ •>.. Pour le premier, « = i, il ne subsiste que la dernière équation (5o). Pour le second, on a simplement

ce qui conduit aux. résultats déjà trouvés (p. i3i). Le calcul direct n'offre pas, non plus, de grandes difficultés pour le cas « r- 3.

Voici d'abord une observation qui va dégager du système (49 > les rapports mutuels de a', |î', y'. . . . , exprimés en fonction de a, jj, Y, • • ••

L'équation différentielle n'est pas altérée par le cliangemcnl de u en — a. Elle admet donc aussi la solution

qui donne l'égalité

On a aussi

n3'(<7 -f- 11^ :f(n — i() ,, , ^^^r^T, = iiu3"-P«).

Mais, l'équalion différenlielle manquant du second terme, nous avons

et C est une constante. 11 en résulte

^pu — pa ~ U{pu — pa)'

ou, avec les notations ci-dessus (t étant mis pour pu),

identité qui doit avoir lieu, quel que soit t. Le second membre étant décomposé en fractions simples, on conclut

~ (a— pKa- Y»... '

(52a) { rj, 2 G

Ces expressions de a', [i', . . . satisfont effectivement aux égalités (49). Un pas important vient d'être fait. Mais, pour arriver rapidement au but, on va employer encore l'équation différentielle.

Produit des deux intégrales.

Dans une équation différentielle linéaire du second ordre

y = Py,

si l'on change d'inconnue, en posant

on peut éliminer y comme il suit :

Y' = 277', "ï'^ 27'^-T- 277"= 27'-+ 2P72= 27'--!- aPY,

( Y" 2 pY )' = 4 y y = 4 P7y = -^ p y-,

y'4PY'— 2P'Y= o.

CIIAPITIIE Xll. — ÉQL'ATION DK LAMÉ. ^99

On trouve ainsi, pour l'inconnue \, une équation linéaire du troisième ordre. Si y et z sont deux solutions de la proposée, py-\-<J^ est aussi une solution, quelles que soient les constantes /?, q, et ipv-hqz)- est une solution de la transformée en Y. Cette dernière admet donc les trois solutions distinctes j'-,j^^, :;-.

Dans le cas de l'équation (47)? voici la transformée

Y'" — .\[fi ( /i -- i) p u -h B] \" — ■in{n — i) p'u Y = o.

Suivant l'égalité (5i), cette équation doit avoir pour intégrale particulière un polynôme entier du degré n en p;^. Soit pu = /, pris pour variable indépendante; on a la transformée

.dY

I — 4[(rt2-f-n — 3)/! + BJ-^ 2/i(rt+ijY = o.

Posons, avec des coefficients indéterminés,

(54) Y=: /«-- a^V'-^ — a,i"-^-i-. . .+ a„iZ + ««• Voici, pour trouver ces coefficients, l'équation récurrente

( 2(/i — ;ji)('2[i. -}- i)( ijt,-i- n -i- i)a„-^

(55) < u4([^^i)Ba„^i-f-|-j^2(|^-M)(H-^2)(2[x-^3)a„|j.2

Cette équation, appliquée successivement en supposant [JL = rt — I , n — 2, . . .,

détermine, sans ambiguïté, le polynôme Y, dont l'existence efl'ective est ainsi prouvée et que dorénavant nous pouvons admettre comme entièrement connu.

Le calcul de ce polynôme offre une simplification si, à l'exemple de M. Brioschi, on l'ordonne suivant les puissances de la \ariable s suivante :

Posant alors

et mettant, pour abréger, cp, cp', cp" au lieu de 'f(^), ^'{^), '•^"{^)on peut écrire Tcquation (53) sous la forme

4 5^ -4- -J '-f S-^ 'Ji s -\- (2) -j-^ -T- ( 1 8 52 -i- I cp •«' -i- f ¥ ) -TY

— 4("-^" — 0)5-1 ; cp -j- — 2/i(n-l-i)Y = o.

De celle manière, Y manque du second terme :

Effectivement, l'équation récurrente entre les A est la suivante :

i(n — iJ.)( 211 -f- 0('ii. -!- ji -f- 1) A„u.

= 1 2 ( [i. -T- I ) ([ji -I- I — n){ [x -hi -h // }bA n-tx-i -^-^(,u-i- i)([J. — -ajl^iJH-S )'^'(èjA„jj.2 -i- (|JL -f- i)!" |JL -!- 2 ) ( u -h 3 ) cp t b ) A„^3,

et l'on voit qu'en supposant ^ = n — i on trouve A, = o. Voici les premiers coefficients :

A2 = — ~ o ib).

I 2 ( 2 rt 5 ) ' 2 I 2 /t - - 3 ; ( 2 /i — 5 ) '

On aura, plus loin, besoin de connaître, dans le polynôme (54)> le terme du plus haut degré en B. La forme récurrente (55) le donne aisément sous cette forme

'-BJ-'

[3.5...(2« — Ij]2

Solution.

Servons-nous d'abord de ce polynôme pour établir, avec plus de rigueur, que jk a efTectivemenl la forme (4^)- Soientj»^ et z les deux fonctions dont Y est le produit. Nous avons, en même temps,

yz=Y, yz'- zy=2C, yz'-^zy'^T.

CIIAPITRK XII. — ÉQUATION DE LAMÉ. 5o I

De là nons concluons

Substituant dans l'équation (47*< nous obtenons i'i-) .1C2=-: V'2— uYY"-- 4[/i( n — Dpu- BJY-',

égalité remarquable, dont le second nieuibre (où les dérivées sont prises par rapport à a) se présente sous la forme d'un polynôme entier en pu : ce polynôme se réduit à une constante 4G-. Soit 0L = pa une racine du j)olynôme Y. Prenons, dans cette égalité, u = «, ce (jui fait disparaître, au second membre, tous les termes,

sauf le premier; remplaçons \' par p' 1/ —r- et nous avons

Les diverses racines de l étant désignées par a, |j, . . . , on a

Mettant, comme plus baul, a' au lieu de p' a, nous obtenons, en extrayant la racine carrée,

(58) aC = a'(a — J3)(a — y)...;

de même pour les autres racines. Ainsi sont retrouvées les relations (Saa). Mais c'est y qu'il nous faut obtenir et, pour ce but, notons la relation actuelle sous la forme

( jg) 2C = y;, = y'^ = y;. = ...,

in<7, =iz />, ± c, ... étant les racines de Y, considéré comme

l'oiiclion de u. Décomposons en éléments simples v:; ce sera

Y = r ^ f ^'^" — rt ) — ^(m — a) — 2!;a]. En effet, les résidus sont tous — j, d'après les relations ( 5f));

502 WElXll-ME PARTIE. — APPLICATIONS.

n, de plus, la fonction se rcdnll à zéro avec u. Ecrivons ceci sous la forme

\ du 11 ^Y,u—pa:(u -^ ^ du 11 :! u

pour en conclure, suivant la premirre égalité (56),

V du

Cl, par conséquent, l'expression (4^j) supposée précédemment pour y.

Le problème, qui consiste à intégrer l'équation (47 ), est maintenant résolu comme il suit : par V équa{ion n'currente (55\ on calculera le polynôme Y; par l'égalité (07 ), on aura, la constante G-, dont on prendra une racine carrée C. Soient a, |i, . . . les racines de Y; on prendra

et Von achèvera de préciser les arguments a, b. . . . par les égalités

aC ,, 2C

Cela posé, on aura une intégrale y par la formule

En prenant l'autre racine carrée de G-, on obtiendrait l'intégrale s, déduite dey par le changement de u en — u.

Discussion.

L'égalité (58), appliquée aux diverses racines successivement, fait voir que G peut être nul dans le seul cas oîi toutes les racines seraient, ou des racines multiples, ou des demi-périodes; l'une, en effet, de ces deux circonstances est nécessaire pour annuler l'un des facteurs du second membre. Mais, d'abord, les demi-périodes ne peuvent être racines multiples, comme on le voit par

riiAPiTiii: \ii. — fyiATiON i)i: i..v)iÉ. oo3

l'cqualion (53). Si, en cITet, f = ci était racine douille de Y, tous les termes du premier membre (53) seraient nuls pour / = d, sauf le second, c[ui devrait donc s'annuler aussi. Mais alors la racine serait triple. DilTérentianl, par rapport à /, on formera une nouvelle équation analogue, d'où l'on conclura que la racine est quadruple, et ainsi de suite, ce qui ne peut être.

Toute autre racine peut être double, mais non triple; le même raisonnement le prouve.

Il est acquis, par conséquent, que les cas où C est nul sont caractérisés par ce fait : le polynôme Y a, pour racine simple, une ou plusieurs des quantités e>, et toutes ses autres racines sont doubles. Admettons qu'il en soit ainsi; ^ a, dès lors, la forme

\' = ( p u — Cl )-( p a — e.y (p u — es'f' n{p II — p ay, (t, z', t" = o ou l).

Comme C est nul, \ est le carré de )-; il en résulte donc

y = v/(p" — eif{pu — eiY\pu — eif Jlipii — pa).

C'est, on le voit, le cas considéré par Lamé, où j- est un polynôme «ntier en p?/, sauf les facteurs y/j)« — ^j , .... Ainsi, c'est en supposant C = o qu'on trouve les cas envisagés par Lamé. Mettant l'égalité (5^) sous la forme

et observant par la formule récurrente (55) que les coefficients de Y ont successivement les degrés 1,2, . . ., /i en B, on reconnaît que le second membre est précisément du degré 2/1 + 1. C'est le degré de l'équation C ^^ o par rapport à l'inconnue B ; c'est donc aussi le nombre des fonctions de Lamé, résultat déjà trouvé par l'analyse primitive.

Ces cas, envisagés par Lamé, étant mis à part, la solution précédente ne se trouve jamais en défaut et l'équation (47) est com- |jlètement intégrée. On peut cependant perfectionner encore cette solution; décomposant la fonction j' en éléments simples, on

5o4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

n'aura plus qu'un seul arj^unient constant, au lieu des n arguments «, b^ c La solution sera alors tout à fait explicite.

Auparavant, nous allons examiner comment C- se décompose en facteurs.

Une équation, du degré ^{n — i) ou ^ /? -+- i , suivant la parité de /?, détermine les valeurs de B auxquelles correspondent des fonctions de première sorte (p. 467). Soit P le premier membre de cette équation. Si /? est impair, chacune de ces fonctions contient le facteur p' u\ ainsi c, s', s" sont, tous trois, égaux à l'unité, et P entre en facteur dans les trois quantités Y(ex), considérées comme des polynômes entiers en B. Si, au contraire, n est pair, aucune des fonctions de première sorte ne contient les facteurs \/p « — (?),, et P n'entre en facteur dans aucune des quantités Y(ex).

Trois équations, chacune du degré ^{n -j- i) ou i/?, suivant la j)arité de /?, déterminentles valeurs de B auxquelles correspondent des fonctions de deuxième sorte, si 11 est impair, de troisième sorte, si n est pair. Soit Q, le premier membre d'une de ces équations. Quand on a Q, ^ o, la fonction de Lamé contient le facteur \jpu — g), si n est impair; ou bien, si n est pair, elle contient les deux autres facteurs analogues. Dans le premier cas, Q) est facteur de Y (g)); dans le second cas, il est facteur de ^{e-i,) et de Y(e:i), et alors Y(ei) contient le facteur QoQs-

Achevons de préciser les polynômes P, Q), Oo, Q3, entiers en B, et disons que, pour chacun, le terme du plus haut degré a pour coefficient l'unité ('). Posons

(fil)

et rappelons-nous que le terme du plus haut degré en B, dans Y, ne contient pas t, qu'il est du degré n en B et que son coefficient est ( — \)"c-. Nous pourrons conclure que l'on a

nimpair. Y(ei) =— c^PQ,, ¥(^2) = — c^PQî , ¥(^3) =— C2PQ3; «pair... Y(>i)= c2Q,Q3, ¥(<?,)= C2Q3Q1, ¥(^3)= c^QiQ^.

(') Par les lois de formation expliquées précédemment, on voit que ces polynômes sont entiers en g., g,, ou entiers en g., g^, e-^, s'il s'agit de Q^. Us sont liomogcnes, B étant regardé comme du même degré que e,, e., e,.

CIIAI'ITRK XII. — tQlATION I)K LAMÉ. 5o5

Efreclivement, la somme des degrés de P et de Q, dans le premier cas, ou le double degré de Q, dans le second, est pn'cisémenl égal à n, degré de Y en 1>. Quant à C-, ce polynôme se compose toujours du produit des quatre facteurs. Le coefficient du premier terme nous est (burni par la relation (60); il provient uniquement du produit 4B\- au second membre; nous avons donc

(69.) C2=cvpQ,Q,Q3.

Si l'on veut éviter d'introduire les quantités e, , e^, e^ et n^woir que des fonctions entières de B, i?» et ^3, on considérera le produit

Q = QiQ2Q3,

qui est une telle fonction entière, et C- se décomposera seulement en deux facteurs. SoitR le résultant de Y et de'^ = W'^ — "•> /^i'i, égal au produit des trois quantités Y(e, ), etc. Dans le cas où n est impair, le quotient R : C- est un carré, dont la racine est P; si /? est pair, R est lui-même un carré, dont la racine est Q.

Ce résultant, produit des 3/i facteurs analogues à [7. — e,), peut se représenter sous deux formes, savoir

rj['^-^'''-4^n^'^^'

i> TT \ / w.TXt.- X i f^P^Q, //impair;

R= I lu — <-).) = (— I)'' I n(o.)= ' '

-■--■- -*-.A ( ^.6 02, n pair.

Rappelons-nous maintenant les relations (58)

2G= /'IpT^ra — p)(a — 7)... =. y^oy'i ,,^3 — a)(3 —';}...=--....

Soit D le discriminant de 1 , ou produit des carrés des dilTérences (a — j3)-, etc. Nous aurons

22/;G2«=: D2rio(a)= 4'»D2R.

Remplaçant C- et R par leurs exj)ressions, extrayant la racine carrée, nous aurons D avec une ambiguïté désigne. Ce signe sera déterminé plus loin; voici le résultat :

In- 1 1 1

(—1) 2 c'-"-H*- Q- , n impair,

n 1 Jl^

(— i)-c2"-:<I'-"o^"~ , // paii-.

Calcul de l'élément simple.

Dans l'élément simple, propre à la ch'-composition €16^(1. T^ p. Q28),

l'argumout f est la somme de a, b^ r, ... ; on a, en outre,

.r — V t' — V 1^/ — ^0 — Zr — . . . , t' = a-i-6-4-c— ....

On va montrer que pi' s'exprime rationnellement en fonction de B, tandis que x et jj'^- contiennent en facteur l'irrationnelle C, racine carrée d'un pohnôme entier. Cette circonstance est conforme à la nature des choses; l'élément simpley( — u) convient à la décomposition de ^, el/(i/) se change en /( — u) si Ton y remplace t' par — V, à la condition que a: se change aussi en — x.

Considérons la fonction

que nous figurons, au second membre, sous la forme générale d'une fonction entière de p u elp'i/, $ et^F étant des polynômes entiers. Dans cette forme, que nous avons vue maintes fois, les degrés des polynômes sont déterminés par cette condition que le degré soit («H-i), pn étant du second degré el p' u du troisième.

Degré de <I». Degré de y*.

«impair {(n-\-i), ^(n — 3);

n pair 2 " < ^ '* — i •

Nous avons désigné par fc une constante, dont nous disposerons plus loin.

C'est le calcul des polynômes $ et W qui va nous occuper. Ils sont déterminés par la condition que la fonction ait les racines a, h, c. . . .; ces n racines entraînent, en effet, la dernière l'acine — r, comme l'apprend le théorème d'Abel.