CHAPITRE XII. — ÉQUATION DE LAMÉ

Pour la racine r/, nous avons la condition

(G6) •l'i'ai ;a'M*(a)=o ( a — j)rt, a' := p'a j,

ou, suivant la relation (58 ,

Même égalité ayant lieu pour chaque racine cle\, on en conclut que le polynôme entre crochets est divisible par \ ^ donc, E étant un polynôme entier en /,

(67) *g H=EY.

Cette relation détermine <I> et W de la manière la plus simple, en faisant apparaître^ comme une réduite de la fraction^ — • EfFeclivemenf, on en déduit

Le dernier terme est, par rapport à t, du degré — ^(n -~ 3) ou — (jn +1), 'suivant les cas, tandis que <I> est du degré ^('^4-3) — i ou (l/î+i) — I- Ea condition que le développement du premier membre, suivant les puissances descendantes de t, manque des termes à exposants négatifs, depuis l'exposant — i inclusivement jusqu'à — r,(n 4- 3) ou — (^ n -i-\) exclusivement, cette condition détermine entièrement $, à un facteur constant près. Soit

/Afl> 1 d\ ho /^i bi

*= 3r'-T-^ir'-'-^...-^;3v-i^-i-?v (v= \(n-T-\),\n).

Voici les équations de condition :

b'i-\ pv-T" b',^;i -T- t»v-(-i pv-2~'~ ■ • --f- t'îv— 1 ^ — o.

Soit généralement

bo l>i

bi b.

bm+î ■ •

• • bi,i,

Si l'on prend

on aura, pour lous les coefficients |j,, [3o, ..., des fonctions entières de b,), ^1, h.2'1 • • •• Ces derniers sont fonctions entières des coefficients de \ (sommes des puissances semblables des racines), donc fonctions entières de B-, g-i, g-^- Ainsi le polynôme ^, dont le premier coefficient est |3 = Ov i, est entier en t, B, ^21 ffs- H 6" va de même pour H' et E, (jui s'en déduisent. Le premier coefficient de T est

b^J .j.y -T- W.^-^-l fJv— 1 "+~ ...-(- t'2v t^ '^

il est éi;al à o^ Mais, à l'égard de ce polynôme W, il y a une observation importante à faire.

Supposons d'abord 71 impair et prenons, ))Our B, une racine de l'équation Q, = o. Alors Y est le produit de {t — e,) par le carré L- d'un polynôme U, du degré ^(n — 1). U est facteur de Y et de

-J-; d'après (Gy), il l'est aussi de W, ce qui ne se peut, le degré

de W étant seulement ^(n — 3). W est donc alors nul. En conséquence, B étant quelconque, U' considéré comme une fonction de B, contient le facteur Q, et, de même, les facteurs Qo et Q^.

Supposons maintenant 71 pair; prenons, pour B, une racine de l'équation P = o, ce qui fait de Y le carré V- d'un polynôme V, du degré ^ n, tandis que W est du degré r, ti — i . Par le même raisonnement, on conclut que W contient le facteur P. Nous mettrons donc QB ou P0 à la place de W, suivant les cas, et remplacerons l'égalité (67) par celles-ci

i n impair * -^ O0 = EY,

] ' dt ^ '

n pair <U

dt

Pe = EY.

oi'i toutes les fonctions sont entières; le premier coefficient, ,3,