DEUXIÈME PARTIE

De là résultent les formules suivantes, où la somme a -i- [î est remplacée par — a,, que donne l'équation (55) :

pç =

n impair.

JTi

(71a) « pair.

Py2

V = — ÎC-

/ciQpî 3pY, , 3 3,

pv' =

py»

On peut procéder autrement et obtenir des formules d'un aspect différent. Et d'abord déterminons la constante k, La partie principale du premier membre (65), pour u infiniment petit, est— ^^j*

Celle du second membre est fournie par le premier ou le second terme, suivant que 11 est impair ou pair. Il en résulte

n impair /• = ^

n pan

Multipliant le premier membre (65) par l'exponentielle dont l'exposant est r^, (a -|- 6 H- . . . — ■^') = o, exponentielle qui est l'unité, puis supposant ?^= to,, on a immédiatement

Multipliant, membre à membre, les trois équations analogues et se rappelant l'égalité (t. I, p. 196)

G*, U ifc, U -if, Il 0-3 if '

ClIAPITUE XII. — ÉQUATION T)i: LAMÉ. 5lJ

on cil déiliiil

/.^p'ap'b. ..p'v = (-- •^.)"+''I*i'I'2'J'3,

puis, d'après les égalités ( 58\ D étant le discriminant de Y,

(73) (— i)^" " " ^' /^^ C" p' V = (— i)«+''2*(ei ) ^•(eo) *(e3)D.

En élevant au carré dans les deux membres (72), on a aussi

(74) i- ir/,^Y( ei)(pi> - e^) = l'^ieO,

avec deux relations analogues. Quand n est impair, cette formule se simplifie. L'identité (70), où l'on prendra t = e\, où, par conséquent, Y devient — c-PQi, montre que *i'(<?j) est divisible par Q,. Semblablement pour ^^{c-i) et pour(e3). On a donc, en mettant 4>), pour <ï>(e>,),

«impair *i = QiFi, *2=Q2F2, ^a^QjFj.

Remplaçons maintenant A, C, D, Y(e<) par leurs expressions précédentes et concluons des égalités (78, 74) celles-ci :

(75) n impair.

i -5a) Il pair. . .' '

Le calcul ciFectif sera facilité par les considérations suivantes. Écrivons la relation (60) sous la forme abrégée

' \dt

M est aussi un polynôme entier par rapport aux diverses quantités ty B, g-i, ^3. De cette relation et d'une précédente (C7), on conclut

5l2 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

par conséquent, F étant im nouveau polynôme, encore entier,

4G2Eh-i\1M= 1^^, at

(76) 4G2* = oxr^+rY.

De celle dernière, enfin, et de la relation (6'j), on conclut (■77) '"^ - rr:^ ?^'' = 7^2 ( i^'J' -^ ?Kvr) Y.

Si l'on change u en — u dans l'égalité {^^') el qu'on multiplie membre à membre, on aura, au premier membre, les divers facteurs

c'(zf — a") j f M -^ « )

tf^ao-^w

= J3 a — p ii = a — / ;

le premier membre devient donc ( — i)"A- Y(j3(' — /), tandis que le second membre est précisément la quantité dont nous venons d'obtenir l'expression (77). Il en résulte donc

Suivant la parité de n, ^F est égal à P0 ou à Q0; en même temps, r est divisible aussi par P ou Q, comme le montre l'égalité (76). On a donc les résultats suivants, où l'on a mis PG ou QG au lieu de F :

f/Y 4c*PE -t-M© ==G ^,

(78) «impair (4c*P* = oe-^ f- GY,

dt G^j-o-oEe

4ci{i2P '

14c*QE +M0 = G^, ^^ , .. ,.„ , 4c*Q* = cie^ -T-GY,

G«ï>-^-^)Ee

4y^P Ces expressions de 'pv sont d'un usage assez commode, à cause

CHAPITRi: XII. — ÉQUATION DE LAMÉ. Si 3

de l'arbitraire /, dont on pcul disposer à volonté. l*our- n impair, la seconde formule montre bien que , est divisible par Q, ; le

quotient F| est égal ei — , — G,.

On peut encore concliiic des relations (77) et (78) celles-ci :

îcip'ï'- -'^Q8' /^ impair. . . pc — /— —

/i pair j)t' — / —

4c*Q'ï>2— oP02

Ces formules ont l'inconvénient que les seconds membres y contiennent, en dénominateur, le facteur étranger Y; ils ne sont pas réduits à la plus simple expression. Elles peuvent être utiles, néanmoins, comme nous le montrerons par un exemple.

Cas exceptionnels de l'élément simple.

L'élément simple subsiste sous la forme {6\) dans tous les cas, sauf un seul, celui où l'argument v est nul. On voit, en eflet, soit par les formules ci-dessus, soit par la définition de jt, que celte inconnue x devient infinie seulement quand pv devient infini luimême. Ce fait se produit de deux manières différentes : par l'évanouissement de 3, si n est impair; de v, si n est pair; ou bien par l'évanouissement de P.

Si l'on prend, pour B, une racine de P, l'intégrale y est une fonction de Lamé et de première sorte : l'élément simple est pu.

Nous parlerons dans un instant de l'autre cas; mais, pour en finir avec les fonctions de Lamé, disons encore ce qui caractérise l'élément simple correspondant aux fonctions de deuxième ou de troisième sorte. Elles correspondent à l'évanouissement de Q. Les formules montrent qu'alors x et p' v s'évanouissent; v est une demi-période. Par les formules (73), on voit même que l'évanouissement du facteur Qx correspond à v =: u)y. L'élément simple est alors d'fit'.iu.! dont le multiplicateur est +1 pour la période 2(0), et — I pour la seconde période.

L'argument v est encore égal à (ox dans d'autres cas, correspondant à l'évanouissement de Fx ou de x, suivant la parité de //. Mais, pourcescas, j: n'est pas nul : l'i-lément simple est c*^" "i^ 11 '.-iu. IL 33

5l4 DKIXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Ses mullipllcateurs ne sont pas ± i. De plus, il y a, comme dans le cas général, deux intégrales distinctes, doublement périodiques de deuxième espèce; l'élément simjdc, pour la seconde intégrale, est e~^" d\u \ du. Au contraire, dans' le cas des fonctions de Lamé, nous savons déjà que la seconde intégrale est d'une forme très dilTérente.

Parlons maintenant du cas où s'évanouit le dénominateur p ou Y, commun à x^ pr, p'r. La forme (64) de l'élément simple disparaît. Puisque la somme r des arguments <7, ^, ... est nulle, l'intégrale (18) est le produit d'une fonction doublement périodique ordinaire par une exponentielle. C'est donc ici ce cas singulier, où les logarithmes des multiplicateurs sont proportionnels aux périodes correspondantes, et dont il a été question au Tome 1 (p. 282).

L'élément simple est alors w//.^P" et il s'agit de trouver la constante p, qui, au moyen des arguments «, ^, . . ., a pour expression

Conservons, à cet effet, la fonction (65), mais en y supposant V z= o, après avoir supprimé dv au dénominateur. Nous poserons donc

<Ij, et ^l'i élant encore des polynômes entiers, puisque, a~\~ b-h . , . étant nul, le premier membre est une fonction entière de pii et de pu. Mais ici le degré est n, non plus (n ■+- 1), comme précédemment. Il en résulte, si n est impair, que le degré de ^F, coïncide avec celui de ^F, tandis que le degré de ^, est inférieur d'une unité au degré que atteint généralement. Mais, par hypothèse, ° . premier coefficient de , est nul ; , et $ sont donc d'un même degré. Si n est pair, les mêmes circonstances se présentent dans l'ordre inverse, en sorte que<[>( et W, ont les mêmes degrés, respectivement, que et W. On déterminera ces deux polynômes en assignant à la fonction les racines a, b, . . ., ce qui donne lieu encore à n conditions semblables à la condition (66), mais dont une rentrera dans les autres. On voit par là que <^, et ^F, sont précisément les mêmes polynômes que et W.