CHAPITRE XII. — ÉQl'ATION DE LAMÉ. 5l

Prenant mainUMianl la dérivée logarithmique aux dcuv membres (Ho), la développant et considérant le second ternie, comme on l'a fait déjà, on aura o ])Our coefficient de ce second terme. Considérant maintenant le second ternie dans le second membre, on a immédiatement

11 faut observer que p est eN.prinié en fonction de B, mais que B n'est plus arbitraire : c'est une racine de l'équation (3 = 0 ou de l'équation •' = o.

On ne peut guère espérer de trouver des expressions simples et explicites pour les fonctions qui figurent dans les formules (71 , 73, 78). Mais il importe de bien connaître leur composition générale et la valeur numérique d'un coefficient dans chaque formule. C'est pour ce but que nous allons, un instant, envisager un cas très particulier.

Digression sur l'équation de Riccati.

Supposons, pour les fonctions elliptiques, le cas ultime de dégénérescence ^2 = ^3=0, où pu se change en l'inverse de u'-. Mettons aussi B = i . L'équation de Lamé se change en celle-ci

rn(rt-4-i) 1

connue sous le nom d\''(jaation de Riccati; c'est, du moins, une transformée fort simple de l'équation qui porte habituellement ce nom. Elle admet, pour intégrale, la fonction

fin / p'Xii \ o't A (81) y= ««+ie-« " (^ \^ ^fi?e«.

du" \u"^^/ u"

\„ est un polynôme entier en //, que voici :

Il satisfait au\ deux équations récurrentes

iiX'„-i= A„-4-(2/i — I— it)\„-i.

Soient a, h, c, . . . les racines de A„ ; a', b', c\ ... les racines de A„,. Mettons, dans la première de ces relations, à la place de //, une racine a'; nous aurons

Multipliant, membre à membre, les (/? — i) relations analogues, désignant par A„, le discriminant de A„,, et remplaçant le produit des racines rt' par le dernier coefficient de A„i, pris positivement, nous obtenons

-|„(„l)(„2, TT ,

rt, a'

Semblable opération étant faite dans la seconde relation (82), avec les racines r/, nous avons pareillement

Les deux produits H coïncident entièrement; car les facteurs y sont les mêmes, sauf le signe ; mais le nombre des facteurs est pair, /?(/? — i). Il s'ensuit donc

On conclut de là

(,)-'"'" "A„=32"-352'î-'72'î-:...r2/?-3)3(2rt — 1).

Telle est l'expression du discriminant pour les polynômes A„('). On peut appliquer à l'équation (81) la méthode d'intégration

(') Par le moyen de la seconde relation (82) et la connaissance du signe de A„, on démontre aisément que A„ a une seule racine réelle, ou n'en a aucune, suivant la parité de n.