CHAPITRE XII. — ÉQUATION DE LAMÉ. 5lJ

que nous avons exposée pour réquation de Lamé. Cliani^eanl, dansj', a eu — //, on obtient une sceonde solution; le produit Y des deux fonctions est le quotient de \n{it)^,i{ — '^) P^^ "'" • Mais Y a été' considéré sous la forme d'un polynôme entier en

t n^ pu, ce qui est ici —^' Le discriminant de Y, polynôme en /, a

donc l'expression suivante

dont le dernier facteur est A«, et dont les autres facteurs sont positifs, comme étant des fonctions- symétriques, afTcclées d'exposants pairs ('). En conséquence, D a le même sij^ne que A«, celui

de(-i)-

Par l'hypothèse g2^= ^:)= ^i ^^^ polynômes P, Q, qui sont entiers en B, g2^ gn et qui ont pour premier coefficient l'unité, se réduisent à Tunité avec B. On a trouvé précédemment l'expression (63) de D, dans le cas général, mais avec une ambiguïté de signe. Cette ambiguïté se trouve levée conformément à ce qui a été alors annoncé.

Forme générale de la solution.

L'intégrale de l'équation de Riccati peut être décomposée en éléments simples, comme y dans le cas général. Pour éviter une confusion dans les notations, considérons la fonction z, dont nous avons appelé a,b, . . . les racines, et supposons que, g^ et g-^ devenant nuls, z prenne la forme (8i). L'élément simple, propre à la décomposition de g,

devient

('} Par l'expression ( 'i3 ) de D cl celle dernière relation, on Lrouvc \\{a-i- b) - 3.3».7'.. .{ •« — i)"-'.

5l8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

car il est certain que l'exponentielle doit y èlre la nicnic que dans l'intégrale {8i). Quant à v, nous savons que c'est la somme rt + 6 -f- . . . , comme on pourrait, au surplus, le trouver directement. Cette somme est ^ n(/i + i). Voici donc à quoi se réduisent ici les inconnues, savoir

V = \ n(n -T- i), Iv — x—i,

d'où se déduit x, si l'on remplace s*' par -•

Au lieu de supposer B = i, si l'on veut laisser B quelconque, il suffit de changer, dans l'équation de Riccati, ii en d= us/B. Nous pouvons donc conclure ainsi : Quand g^ et g^ deviennent nuls, les formules (71) se l'éduisent aux suivantes :

X = \fB,

"' By/îï;

la racine carrée de B est prise à volonté, mais de la même manière, dans les deux formules.

Nous allons maintenant chercher les degrés des polynômes qui figurent dans les formules (71, -5). De l'équation récurrente (55) il ressort que Y est homogène, i et B étant considérés comme du premier degré, ^2 comme du second, g^ comme du troisième degré. Il est, de plus, entier par rapport à ces quantités. On reconnaît, dès lors, les mêmes faits dans les polynômes <ï> et 0, déterminés par l'identité (70). Ace point de vue, le degré de $ est la somme de son degré en t et du degré de son premier coefficient ,S. De même, pour (■) et son premier coefficient y-

Un déterminant tel que Zm {^[)) a, Y'^xxv poids , ni^ni -h 1), c'est-à-dire que, dans chacun de ses termes, après développement, la somme des indices des lettres 6 est ni(ni 4- 1). Le coefficient général bm est du poids m relativement aux indices de <7(, a-2

coefficients de Y. Pour ces derniers, l'indice est égal au degré, entendu comme nous venons de le dire. Or [i et y sont, l'un Ov(,

(lI.U'ITIli; MI. — ÉQUATION DK LAMÉ. Ôl(J

l'aulrc le qiiolieiil de Ov par l* ou Q, donl ou connaîL déjà les degrés. D'après ces indications, on constituera aiséuu'ut le tableau suivant des degrés :

n iinpaii". n pair.

V { (■ /i -f- I )( rt — 3 ) \{ II- — 4 )>

V \in-~\) ^ ^(«-+-2),

Fx |(rt2 — 1)

Pour résumer maintenant les formules (71, 75) en ne faisant ressortir que les degrés, nous dirons, en modifiant les notations : On ohtiant les constantes de l'élément simple.

par des égalités avant la forme suivante

pV

^QiQaQ.^

iT,T3,

c?«/i.v lesf/uelles toutes les lettres représentent des fonctions entières et homogènes de B, g^ et g-,, ces quantités étant envisagées comme avant les degrés 1 , 2, 3. En outre, Q), et T). contiennent e\ qui, pour l'homogénéité, est considérée comme du premier degré; les trois fonctions Q), se déduisent les unes des autres par le seul changement de e\; de même pour les trois quantités T>.. Les degrés de ces divers pohnômes, comptés comme on vient de le dire, sont les suivants :

520 DEIXIÈMK PARTIE. — APPLICATIONS.

n impair. /) pair.

\ l(«-hi)(« — 3) {«(« — 2)

r hn — i) \(n ■+- 7.)

M I /((/« — I ) ô /? ( rt H- 1 )

T iin-^~i) In-

£n bornant ch((cun de ces polynômes à son terme du plus haut degré c/^B, on réduit les formules à celles qui ont été indiquées plus hciut (83).

Les fonctions de Lamé eorrespjondent aux valeurs de V> qui font épanouir V ou Q; à ^évanouissement de W correspond r élément simple "Cu .e^", da/is lequel p est fourni par la formule

n, étant aussi un polyitôme homogène de degré supérieur, d'une unité, à celui de 0.

Décomposition de l'intégrale en éléments simples.

Pour edcctuer la décomposition, il nous faut, d'après la mélliodc générale, développer y suivant les puissances ascendantes de u. Pour ce but, développons chaque facteur de r, pris sous la forme (48). Ce développement se trouve au tome I (p. 201), sauf un changement de notation. Le voici

3'( « -h- a ) y I II it- 11^

!i a ^ Il u ■! -2 . 3 '2 . 3 . î Pi — --]->a — — a., p.f— —p'a — — a', /?v = — 3a2~ 4y;^,. />5— — uaa',

1! faut y remarquer que/>,„ est homogène et du degré m, quand a, ^■'î g2i gz sont considérés comme ayant les degrés 2, 3, 4> 6- Les coefficients d'indice impair contiennent le facteur a'.

CUArmiK XII. — ÉQLATIO.N DE LAMÉ. 52 1

IMultiplianl entre elles les diverses fonctions analogues, pour (ornirr v. <>n oblicnt

S Pi -T- X /?3

U'> Ml" - ' -JL/iu" ■^ '■

Portons notre attention sur les coefficierils des termes de rang impair. Ils sont visiblement formés des sommes symétriques

— a, 2. aa , la- a, 2. a' a,

l^ia', X3aa', :i3a2a'.

dont toutes se ramènent à celles de la premiè

e ligne, multipliées

par des sommes symétriques ne contenant pas a', |j' Ainsi

^p2 Ya = X %y- 1 a — 1 a^ 1 aa — 1 a 1 a'^ a -^ 2 1 a' a ,

L'homogénéité fait reconnaître que la plus élevée de ces sommes, figurant dans le terme m-'"+^~", est 2a'" a'.

Reprenons maintenant l'identité (02)

Le développement des deux membres, suivant les puissances descendantes de /, fournit les relations

Xa"-'a' = aC.

Considérant les sommes qui sont ici nulles, nous concluons que le développement (85) de t manque des divers termes de rang impair, sauf le j)remier, jusqu'au terme en ;^"~'. Ce développement a donc la forme suivante

7 <! 1 -^ 7-2 "- -t- 7i «'• -*- «/li "" -+- •

-f- q-mli-

qin^\ 11-^

q-in-^ilO

et les lacunes cessent d'exister à jiarlir du terme en u". Nous allons, tout à l'heure, voir quel parti on peut tirer de cette circonstance pour en déduire une nouvelle méthode d'intégration. Bornons-nous d'abord à considérer les termes dont les exposants sont négatifs et qui nous fournissent la décomposition en éléments simples par la formule suivante, où y est l'élément simple (64),

le dernier terme contient y ou /", suivant que n est impair ou pair. Quant aux coefficients q, ce sont des fonctions symétriques de a, |j, ..., exprimables par les coefficients <:/,, «oi ••• de Y; par exemple :

En prenant «, et a-2 par l'équation récurrente (55), on obtient

Ce développement de y est valable, avec ces coefficients, dans tous les cas, sauf un seul, celui où l'on a P= o, où y est une fonction de Lamé, de première sorte. On a, en ce cas, avec les mêmes coefficients,

^M^-iP

Il y a un autre moyen, plus simple, de déterminer les coefficients q : c'est celui que nous avons déjà employé au tome I

ciiAPiTin: XII. — r:Qi ATio.N ni: i.AMf:. 523

(p. 2.U)) et qui cnnsislo à sul)sl iiiici- le dcvcloppcmcnt (8-) dans ré<|uation ilifTércnlicUe, eu se servant du déveIop[)cnieut de pu (t. J, p. (,3)

1) « = — -, -f- c* II- -+- r.T u • -f- c, ir' -^ ,

Ce procédé conduit aux équations ci-après (')

I ili{:>.n — ih -r- 1)72/, -- B72//-2

d'où Ton conclut les valeurs ci-dessus de q., et de ly.,, puis

' r,^ . n( I) - \ )(('•> Il — 7 I r,

Nous connaissons maintenant, outre l'élément simple /", les coefficients de la formule de décomposition en éléments simples pour l'intégrale y. En résumé, nous avons exposé deux méthodes pour intégrer l'équation de Lamé; toutes deux sont fondées sur le calcul du polynôme \, produit de deux solutions. La première donne immédiatement, Y étant censé calculé, l'expression de r sous forme d'un produit de fonctions ^, où figurent svmélriquement les arguments rt, qui correspondent aux racines a = .))« du polynôme Y. La seconde méthode fournit r décomposé en éléments simples et les constantes se calculent explicitement, au moyen de Y, sans intervention des racines de ce polynôme.

(') Par ce moyen, on trouve, sous la forme suivante, la tlécomposilion eu éléments simples pour l'intégrale de réqualiui» de liiccali :

•^ ■' i{in — \) •' ■.».4. (j/t — i)(u/t — .{) •' " '

/ [--ÎTT^]-

11 nous rcslc enfin à expliquer une Irolsiènic mélliode, par laquelle, sur Téquation elle-même, on trouvera directement^, décomposé en éléments simples, sans intervention du y^olynôme Y.

Recherche directe de l'intégrale.

La recherche directe peut se faire de deux manières. Voici d'abord la plus naturelle.

Calculons, par les formules (89), q^^ ^5, . . . jusqu'à qn^K ou q,i^ suivant que n est impair ou pair. Prenons l'élément simple/", où p et :r sont inconnues, et formons y d'après l'égalité (87), où le dernier coefficient q calculé nest pas employé. Ceci étant, le développement de cette fonction y coïncidera, dans tous les termes à exposants négatifs, avec celui de l'inconnue y. En le prolongeant de deux termes, on aura

' -^ u" II"-- a n pair y — \ H. . .-;- ~ i- A -- a » H-. . ..

Les coefficients A, a ou à', ij.' sont des fonctions de v et de x. Déterminons maintenant ces inconnues par les conditions

?i impair ). — o, I^ =" '/«-n i

n pair ^- = '///, [j.'= o.

Ceci fait, le développement de

('(jo) y'—i^ni/t-hi)pu + B]y

ne contient plus aucun terme à exposant négatif. Mais ceci est une fonction doublement périodique de deuxième espèce (ayant même multiplicateur que j'), dont u = o est le seul pôle. Ce pôle ayant disparu, la fonclion est nulle et j- est effectivement l'intégrale cherchée.

Dans cette méthode, la seule difficulté est de résoudre les deux équations qui déterminent a: et ç. Mais nous connaissons d'avance la forme de la solution et nous pourrons en tirer parti.

La seconde manière de rechercher directement l'intégrale est

CnAPITIir, \II. — l-Ql ATION DIÎ I.AMf'. 525

fondée sur la propriélé que nous avons reconnue au (Ic'veloppejnent tic 7' : il présente des lacunes, de deux en deux rangs, jusqu'au ternie en u" . Cette pro[)riété, trouvc'e ici très indirectement, est d'ailleurs très visible sur l'équation dinTérentielle. On v voit, en cHet, qu'il existe une intégrale dont le développement commence par un terme en «""•"'. Soit donc r la première intégrale, dont le développement commence ])ar nn terme en ir"\ soit :: celle qu'on en déduit par le changement de u en — u; il doit exister une combinaison linéaire de j^ et de c, dont le dévclopjDcment manque de tous les termes jusqu'à m" inclusivement. Cette combinaison est nécessairement ), =j' + ( — 1)"~'^, et il en résulte que le développement de y doit présenter les lacunes annoncées.

Mais on peut prouver maintenant que l'existence de ces lacunes suffit à caractériser r, A cet effet, considérons les deux fonctions

yy\—yo'- y'y\ — y\y'^

qui, toutes deux, sont doublement périodiques ordinaires, y et z ayant des multiplicateurs inverses. Elles s'offrent, de plus, comme ayant le seul pôle u = o. Prenons les parties principales de )■ et de r, :

Il en résulte les parties principales suivantes :

ryi—ri.;''=(2«-^ ') + ■••, y'y'\~y\y" = — n(n-r-\){2n-hi)u-'-^....

La première fonction n'a pas le pôle w = o ; c'est donc une constante et l'on en déduit

yy"i—yiy"=f^-

La seconde a le pôle double u = 0] elle est de la forme

— (-2/1 -\-i)[n( n -{- i)pit -I- B ] ,

où B est une certaine constante. De ces faits résulte que )' et j-, sont les intégrales de l'équation

y'= [n(n-~i)pu -+-B]j)'.

026 DEUXIÈME PAUTli:. — AIMT.ICATIOXS.

Si Ton avait abordé cette élude ainsi, il faudrait. iiiainlcnanL s'assurer que les lacunes exigées dans j- sont en nombre inférieur d'une unité à celui des constantes contenues dans j>'. On saurait ainsi que B est arbitraire. Ce compte est facile à faire, mais nous pouvons nous en dispenser.

Voici donc la dernière méthode d'intégration : on prendra y sous la forme (8j), oii non seulement x et c, mais encore les coefficients seront inconnus. On formera, dans le développement de y suivant les puissances ascendantes de u, les coefficients des termes où les exposants sont positifs et de parité opposée à celle de //, jusqu'au terme en ii" inclusivement. On égalera ces coefficients à zéro. Par ces équations, toutes les inconnues seront déterminées en fonction de l'une d'entre elles. Que q^ soit cette dernière. On remplacera Çi, en vertu de l'égalité (88), par

B, et l'intégrale sera trouvée.

Cette dernière méthode est complètement en défaut quand il s'agit de former les fonctions de Lamé; avec ces fonctions, en effet, les lacunes dont on vient de parler existent dans le développement, indéfiniment prolongé. Elle s'applique, au contraire, sans obstacle dans les autres cas exceptionnels.

L'autre méthode est toujours valable; elle exige, toutefois, une légère modification dans le cas où y est une fonction de Lamé, de première sorte, et dans celui où l'élément simple est

Le nombre /i étant impair, si y doit être une fonction de Lamé, de première sorte, son développement ne doit pas contenir de

terme en -• La condition caractéristique de ce cas est donc Il '

g„^=:o. Il n'y a plus, dès lors, qu'à former ;k avec les coefficients précédents.

Le nombre n étant pair et y devant être une fonction de première sorte, |jl' sera nul d'après la nature de la fonction. Ayant déterminé y comme il a été dit, on conclura que la fonction (90) est constante; pour la rendre nulle, il faudra encore envisager, dans le développement de y, le terme en n-^ et égaler son coefficient à qnjf.1-

Considérons maintenant le cas de l'élément simple s"-eP".

ciiAiMTiiK XII. — f:yiATU)N iii: i.vMfi. 037

Si n est impair, supposons clt-tcniiiiu' y p;ir les mêmes conditions cpic (liins le cas général, sauf la seule condition |j. = r/„^,, que nous omettons. En ce cas, la fonction (90) semble avoir le pôle simple // = o. Mais cela ne se peut, vu sa nature particulière, qui exii;e au moins deux pôles (t. I, j). 2,'33V Elle n'en a donc point et se réduit à l'exponentielle eP", niultiplii'e par une constante. La condition ^ = r/„^f est donc remplie d'elle-même. Pour achever, il faut égaler à zéro le coefficient suivant.

Si n est pair, on voit, de même, que la condition ^'=0 est contenue dans les précédentes; il faut égaler à ^«+2 le coefficient suivant.

Formules pour n = 2.

Dans les calculs que nous allons développer, on mettra simplement C2 et o'pour v(^) et '^'{b). L'emploi de la notation b^ au lieu de B, offre des avantages pour la simplicité des formules :

V^^î-f-Acp', «ï> = 25. E=î, 0--i V=-i P = 3;?';

= eiCz-^^b (62-^63) — 4^2 = (26 -f- ei)('>.b-\-e3) =c2Q2Q3; c = \, <>/,= U^^' + Qj- En prenant s racine de Y, on a, suivant l'équation ((io),

/,c*PQ = 4G2^ 4*^'f(0 -= — ^' {\s^ -^ \-?.bs^ -\- so' -\- ^) r= — '^'('f — 36o'),

h':,' — 'j A{b — exY-l'i.b -^ e\^ l^v = ' , ' > VV — e\= -, ,

^ /ibo'—o , 9.0^ /'^bo' — o p'i> j

ÔaS DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Formules pour « — 3.

Y = s3^ A, s -i- A:j= 5»4-{(p'5-4-|-<5 — b':J , o{t) — ^s'^-h iibs--\- o'5 -f- o,

Y(g,) = -^r'f'-^>(^'i-^)^]--^-'QiP; ^- 3'- P =3.:J6, Q),^32.î[?'-^3(e'),-i)'-]. 4> = — 6 A2 s- -+- 9 A3 5 — 4 -^ ) E = — 9(2 A2i" — 3 A3), vQ=-(4A1^27An (•),

ji t- - 6 = -^ ...•■ -, '-^

j) t' — ei =

\o' + 3(ei— by][i7.{b — ei)(2b -^ ey) — -j'^ ]2

L'équation

jK''=(i2pM-f-i5 6)7 a pour solution

Le cas exceptionnel a lieu pour'i' = 0; c'est-à-dire 12/^- — g^^o', on a, en ce cas,

j' = (Çaep"/'— 3 6^MeP«-f-26pep", p^^ 3^*.

(') C'est le discriminant de Y; mais cette circonstance ne se présente pas au delà de rt = 3, comme l'a écrit M. Brioschi, par une légère inadvertance qui n'ùte rien à l'importance du Mémoire cité en tête de ce Chapitre.