CHAPITRE XIII

KOUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

Théorèmes sur les équations différentielles linéaires, en général. — Equations de M. Emile Picard. — Propriété des polynômes entiers en u et ^ii, à coefficients doublement |)ériodiques. — Forme générale des intégrales. — Equations pour lesquelles les rapports des intégrales sont uniformes. — Changement de l'inconnue. — Théorèmes sur les équations de la seconde classe. — Cas particuliers.

— Équations différentielles linéaires, attachées à la division de l'argument par 3.

— Équation du quatrième ordre. — Équations différentielles linéaires, attachées à la division de l'argument par un entier quelconque. — Autres équations d'ordre quelconque. — Troisième groupe d'équations d'ordre quelconcjue. — Exemple d'équation de la première classe. — Autre exemple.

Théorèmes sxir les équations différentielles linéaires, en général.

L'intégralion de réqualion de Lamé, telle que nous l'avons exposée dans le Chapitre précédent, et à laquelle restera attaché le nom de M. Hermite, a été l'origine d'une découverte importante, celle de deux grandes classes d'équations différentielles linéaires, intégrables par les fonctions elliptiques. Mais cette découverte eût été impossible sans les progrès de la théorie des fonctions, inaugurée par Cauchy. Ce n'est plus, en effet, dans la forme extérieure, que l'on cherche les caractères distinctifs des fonctions ou des équations différentielles, comme on faisait jadis, en considérant, par exemple, les équations linéaires à coefficients constants. On recherche maintenant des caractères plus cachés, que révèle l'étude des points singuliers.

Pour les équations différentielles linéaires, cette étude des points singuliers a provoqué des travaux considérables, dus aux meilleurs géomètres contemporains; elle donne lieu à des problèmes difficiles, dont la solution n'est pas encore atteinte. On

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n'aura besoin de connaître ici que des propriétés exlrêmemenl simples, dont nous allons hrièvcnicnl parler ('). Soit une éfjualion, d'ordre ///,

y"''4- a,7""-"-(- «2/'"--'^. . .-^rt„,-0''-f- a,„y = o,

dont les coefficients sont supposés être des fonctions de la variable indépendante u, uniformes et fractionnaires. Considérons une valeur «05 attribuée à u. Il s'agit de reconnaître les conditions pour que les intégrales soient développables en séries procédant suivant les puissances ascendantes de [u — ;/„).

On doit distinguer deux, cas : le premier a lieu quand les coeflicients ont, tous, des valeurs finies pour u = Uq. Toutes les intégrales sont alors développables en séries de Maclaurin. C'est un théorème de Caucbj.

Le second cas se présente quand quelques-uns des coefficients deviennent infinis pour u = U(,; c'est alors que l'on appelle Wq un point singulier. Considérons les divers produits

(1) (« — «u)«'i. {u—ih}-(ri, ..., (// — ?/o)"'«m-

Supposons que l'un d'eux, au moins, n'ait pas une valeur finie pour u = Uq. S'il s'en trouve plusieurs, admettons que ceux de rang n, p, ... soient infiniment grands d'ordre rj, supérieur à l'ordre des autres. Supposons maintenant qu'une intégrale soit développable et que son premier terme soit du degré s. En substituant le développement de cette intégrale dans l'équation différentielle, on aura, au premier terme, du degré (s — ni — q), le coefficient

s {s — i). . .( s — m -r n -{- \ )0,t-^ ■'''(s — \). . .{s — ni -^ p -^ i)fji,-r-.. .,

b,i et bp désignant les limites de (u — u,))"'^fa,i et de (u — U(s)P'^^ ap, pour u= Uq. Ce coefficient doit être nul. De là une équation à laquelle doit satisfaire l'exposant s. Mais cette équation est de degré inférieur à l'ordre m de l'équation différentielle. Les intégrales ne sont donc pas toutes développables. Ainsi, pour que toutes les

(') On poiina consulter, «iir ce sujet, \o. Cours d'Analyse de f'J-.'cote Polytechnique, pai' M. Caiiiilli' Innliin. t. III, p. 177.

intég;rales soient développablcs, il est nécessaire que les produits (0 aient tous des limites finies.

Supposions celte condition remplie, et prenons les développements des produits (i) :

( u — »„) «1 — by -^ b\ {u — Uq)-^ b\ {u — Mo)^-i-- • • , I u — »„ )"- ai = bi -— b'.y C u — //,) ) -t- bl (u — «o )^ -î- • • • ,

L'équation, dite dctciDiinante , qui a pour racines les exposants 5, est la suivante :

{ -+- 6,5(^5- — I). . .( 5 — /H -4- 2)-4-. . .-I- b„i-iS -+- b,n= O.

Soient maintenant

V is)= b\s{s — \). . .{s — in-^'i.)-T-.. .-^ b',n-\ s -;- &',„,

F"( s) = b'\ si s — i). . .( s — m -^ •>.) ^. . .-^ b"„,^ s -^ b"„i,

Substituons à j-, dans l'équation différentielle, le développement

( 3 ) JK = ( « — "o f • [i-^ Ci( H — Uo)-\- Ciiu— Uo)--^...].

Nous aurons, pour déterminer les coefficients c, les équations

(î) ■: C2F(.Vi-f- 9.)— C,F'(5i-+- l)-4- F"(5i)= O,

Ayant pris 5( racine de l'équation (i) et déterminant ainsi c, , Ci, ... , nous formons un développement (3) qui, s'il est convergent, satisfait à l'équation diff"érentielle. La convergence, sur laquelle nous ne nous arrêterons pas ici, a été démontrée par M. Fuchs. Le point sur lequel on doit porter l'attention est le suivant: les coefficients c se déterminent, par les équations (4), sans embarras, si aucune des quantités F(.ç, H- i), F(5| + 2), ... n'est égale à zéro, c'est-à-dire si l'équation déterminante (2) n'a aucune autre racine surpassant 5( d'un nombre entier. Mais, dans le cas opposé,