CHAPITRE Xin. — ÉQUATIONS DlFFÉRE.NTlELLtS LINÉAIRES

rc\lslcnce du développement (3) est subordonnée à des conditions subsidiaires évidcnles : si l'équation délerminanle, eu mcnie temps que la racine 5), possède aussi la racine (5, -h /< ), n étant cnlici-, on devra avoir

Cn-i F'( A'i -^11 — I ^ -i- C„2 !""( 5i -I- n — 5t ) -t- . . . = o ;

d'où, par réllminatlon de c„i, C/,2, • . • entre cette égalité et les précédentes, résulte une équation de condition. Si celte condition est satisfaite, c„ est indéterminé, comme cela doit être en effet : la coexistence de l'intégrale (3) et d'une autre intégrale, dont le développement commence par un terme du degré (5, -l-/^), permet de former une combinaison linéaire où le terme de ce degré aura un coefficient ad lihitiiiii.

En résumé, pour que rintégrale générale soit dévcloppabic, il faut et il suffit : 1° que tous les produits (i) aient des valeurs finies; 2" que l'équation déterminante n'ait pas de racine multiple (sans quoi il n'y aurait pas m exposants 5); 3" que, si elle a des racines à différences entières, certaines conditions subsidiaires soient satisfaites (' ).

Ces conditions remplies, il y a m intégrales particulières développables sous la forme (3). Cliacune d'elles correspond à une racine de l'équation déterminante ou, comme on dit, appartient à un exposant égal à cette racine.

Voici maintenant les conséquences dont nous aurons besoin.

En premier lieu, si, en chaque point singulier, les exposants .ç sont des nombres entiers, les intégrales sont des fonctions uniformes j)()ur toutes les valeurs de la variable; ce sont des fonctions entières si les exposants s sont tous positifs; elles sonl fractionnaires dans le cas opposé.

En second lieu, si, pour chaque point singulier, les exposants 5,

(' ) La remarque suivanle est utile dans les applications : si, dus le début, les développements des coefficients a,, a^, ... présentent, tous, les mêmes lacunes, ces lacunes se reproduisent dans le développement (3) de y. Si, par exemple, i»i, ^'2, • • -, 0'„i sont nuls, c, est nul aussi. Si ces mêmes lacunes se reproduisent périodiquement dans les coefficients, il en est autant dans y. Qu'on suppose, pour les coefficients, des fonctions alternativement paires et impaires, par rapport à (a — uj, le premier coefficient a, étant impair; en ce cas, c,,c,,c^, ... sont tous nuls. S'il se trouve alors deux racines « à différence impaire, la condition subsidiaire, relative à cette dilTcrence, est satisfaite d'elle-même.

536 DEUXIÈME PAUTIF.. — APPLICATIONS.

sans être entiers, ne diffèrent que par des nombres entiers, les rapports des intégrales sont des fonctions uniformes pour toutes les valeurs de la variable.

Ce sont les équations ajant ces propriétés et dont, en outre, les coefficients sont des fonctions elliptiques, que nous allons intégrer.

Pour fournir au lecteur des renseignements complets, nous ajouterons qu'on sait reconnaître, sur une équation différentielle linéaire quelconque, si, par un changement de la variable indépendante et de l'inconnue, cette équation est susceptible d'être ramenée au type dont nous parlons. Mais cette théorie ne saurait trouver place dans le présent Ouvrage ( ' ).

Équations de M. Emile Picard (-).

Les équations dont l'intégration générale est due à M. Picard sont celles que nous venons de mentionner en première ligne, où Y intégrale générale est uniforme .

Pour bien comprendre le sujet, il faut se rappeler la proposition suivante, qui appartient à la théorie des substitutions linéaires : Soient y\ , j '2, . . . jj'm dii'erses quantités variables, sur lesquelles on effectue une substitution à coefficients constants, remplaçant y^ par Ya,

Il existe au moins une combinaison linéaire z- de ces quantités, et à coefficients constants,

pour laquelle V effet de la substitution est simplement de la multiplier par un facteur constant :

Z = ixz.

(') Voir, à ce sujet, le Mémoire .tur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables, par ]M. Halphen, duns le tome XXVIII du Recueil dit des Savants étrangers, p. i55.

(') Comptes rendus de r Académie des Sciences, t. XC, p. 128 et 2g3, et Journal fiir reine und an gewandte Mathematik, t. XC, p. 281.

CIlAlMTRi: XIII. - IQIATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 537

La dt-nioiislralion, (juM n'csl pas iiôcessanf; de icpiodulrc /// extenso, consiste à subslilucr, au second nieinhrc de celle dernière éqnalion, l'expression supposée pour z, puis, au premier membre, la même expression de Z par les Y; y remplacer les \ par leurs expressions en )-, enfin à identifier les deux membres, terme à terme. De là découlent m équations linéaires et homogènes en /;, , b^^ • • • , b,n et, par suite, pour ijl, une équation de condition, qui est du degré tn. Cette équation a au moins une racine et la proposition est prouvée.

Arrivons aux étjualions de M. Picard, et supposons donc une équation à coefficients elliptiques dont l'intégrale générale soit uniforme. Soit alors 'f i('/), 'f2(")î • • • -, 'irn{it) un système d'intégrales linéairement distinctes.

Changeons u en u + tito. L'hypothèse sur la nature des coefficients entraîne cette conséquence que cp, (^^ -j- 2(<) ), ..., '^m{ii -\- 2to) sont aussi des intégrales. L'hypothèse sur la nature de l'intégrale entraîne, à son tour, cette autre conséquence que ces dernières quantités sont bien déterniinres, ont, en d'autres termes, une valeur, unique pour chacune d'elles, quelle que soit la manière dont la variable passe de u à ;/ -h ■îw.

Les nouvelles intégrales sont des fonctions linéaires des précédentes, à coefficients constants, comme étaient tout à l'heure les quantités Y relativement aux quantités j'. 11 existe donc une combinaison linéaire, c'est-à-dire une intégrale '^{u)-, ayant la propriété

( > ) cp (a + 2 foj = [i o ( i( ),

oij tjL est une constante.

Prenons maintenant les fonctions

fl( u) = o( u), f,(u) = r^{ll —10)' ), ..., /„+,(?/) = cp Cm -f- 2 «(-)■),

qui, ])Our les mêmes raisons, sont des intégrales bien déterminées. 11 ne peut exister que m intégrales linc-airement distinctes. On est donc assuré que. en j)renanl n é^al ou inférieur à m, on aura une relation linéaire

/„^ ii u ) = Oi/i(u } -T- a.î/.,(in-~...-r- a,, fn ( " ),

538 DEUXIÈME PARÏIK. — APrUCATlONS.

(|uc l'on pcul l'crire ainsi

f„{u -4- 2w' ) = Oi/idi) -+- Ui/iia) 4-. . .-f- a„fn{u)-

En la joignant aux relations

/„-l{ Il — 2(.j' ) =/„( U),

on a encore les formules d une subslilulion linéaire et l'on peut conclure à l'existence d'une combinaison linéaire /{u) ayant la propriété

Mais cette fonction y, comme les éléments fx-ifi, ■•• cjni la composent, a aussi la propriété exprimée parla relation (j). En conséquence :

Toute ('(iiiatioii dijj'éienticllc linéaire, à eoefficients elliptiques et à intégrale générale uniforme, possède au moins une intégr(de doublement périodique de deuxième espèce.

C'est ici qu'intervient de nouveau la théorie des fonctions, pour nous faire connaître (t. I, p. 4Go-463) les seules fonctions uniformes de celte nature, celles qui s'expriment par la fonction d. La composition analytique d'une intégrale nous est ainsi connue : on est assuré de trouver l'intégrale elle-même, qui contient un nombre déterminé de constantes. Nous y reviendrons plus loin ; mais l'équation de Lamé nous a suffisamment préparés pour que, dès à présent, on soit convaincu du succès. Pour le moment, il nous faut pousser plus avant et reconnaître que l'intégrale complète est exprimable par la fonction fi.

Dans bien des cas, il existe des intégrales doublement périodiques (de première ou de deuxième espèce) en nombre égal à l'ordre de l'équation. C'est ce qu'on a vu pour l'équation de Lamé, quand la constante B est indéterminée. !Mais, pour cette même équation, dans les cas mêmes où Lamé l'envisageait, il n'en est rien : la seconde intégrale contient des termes, non péi'iodiques, u et "Cu. Les équations de M. Picard présentent des circon-

ClIAPlTRi: XIII. — EQUATIONS DIFFÉRENTIEM.KS LINÉAIRES. 539

Stances analogues : r iittri; idlr comiilrlc jiciil se coiniioser, de la manière la plus génrralc , <V un polynôme entier en u et cm, ayant pour coefficients des fonctions doublement jirriudiifues (de prcniièrc ou de deuxième espèce) (').

Propriété des polynômes entiers en u et tu-, à coefficients doublement périodiques.

Considérons un tel polynôme, et d'abord, pour éviter une discussion inutile, introduisons u — a cl J^(//, — r/), au lieu de u et ^M, ce qui se peut, à cause de la formule d'addition

Z( U — a) = lii — Za -\- -

■.'. ]Ul — pu

C'est donc un polynôme entier en (u — a) et Z(u — a) que nous envisageons, avec des coefficients doublement périodiques (de première ou de deuxième espèce). La constante a est à volonté; il demeure entendu que u^ a ne correspond à aucun pôle du polynôme envisagé. Soient maintenant

a(M)= ■T-[r,{u — a) — oj!^(i< — a)], j3(«;= ^- [io'^{u — a) — t/( u — a)\.

Nous introduirons ces deux fonctions a et j3, au lieu de (u — a) et 'Ç{u — a), ce qui rend l'exposition plus claire, à cause de leurs propriétés simples :

( af w -f- 2a>) — a(M), aC « H- 2(o') = a(«) -4- i,

( !3(a -T- 2to) = ^(fi)-l- I, ^( K -t-20j') = 3(«).

Voici maintenant un Icmme presque évident, dont nous allons faire usage :

A, B, ..., [X, V, ...,/?,/?,.. . étant des quantités fixes, et k un entier arbitraire, si l'on a, quel que soit k,

( 7 ) A A" ix'- — B ki> ■//■ ^ . . . = o ,

toutes les quantités A, B, . . . sont nulles.

(') Ce résultat est dû à M. (1. I-'loquct {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCVIII, p. 8:>).

54o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

On di'monlrc ce lemnie, avec la plus grande facilité, en considérant, pour k, une valeur infiniment grande, et nous l'admettrons sans nous y arrêter davantage.

Envisageons un polynôme entier par rapport aux quantités a et ^, avec des coefficients doublement périodiques

F(i() = Sa"p"'/.

Nous allons chercher sous quelle condition ce polynôme est la dérivée d'une fonction uniforme.

Soit II ^ t' un pôle de F; c'est, comme on l'a dit plus haut, un pôle d'une ou plusieurs des fonctions /, qui servent de coefficients. Soit u le multiplicateur de y pour la période 2w, A son résidu pour le pôle r. Cette fonction /a, pour le pôle c -f- 2A0). le résidu |j.'^ A. Suivant les propriétés (6), le résidu de F, pour ce dernier pôle, est

Za"(3-T-^)"';ji^'A = o,

que nous égalons à zéro , condition nécessaire pour que F soit la dérivée d'une fonction uniforme. Si nous développons (^-4- k)"^, nous avons là une quantité analogue à celle (7) qui a fait l'objet du lemme. Prenons seulement les termes du plus haut degré en A" et concluons ainsi : dans les divers termes du plus haut degré en [i, composant F,

distingués les uns des autres par les multiplicateurs dilférents [J., jj.,, U.J, . . ., a]>partenant aux coefficients y, y,, fj, ... et relatifs à la période 20^, les résidus sont nuls.

Dans ces termes, faisant maintenant abstraction du facteur commun ^"^, considérons le pôle t' + a/iio'; c'est alors a qui se change en a -f- 2/r, et le même raisonnement conduit à la conclusion suivante : parmi les termes précédents, prenons ceux dans lesquels a est affecté du plus grand exposant; ces termes ne se distinguent plus que par les multiplicateurs des coefficients /; pour chacun de ces coefficients, le résidu est nul.

D'après les formules de décomposition en éléments simples pour les fonctions doublement périodiques de première espèce (t. I, p. 205-207) ou de deuxième espèce (t. 1, p. 299 et 233),

CIIAIMTIU; XIII. — r;(jrATIONS DIFFÉRKMIELLliS LINÉAIRES. ^)\l

celle seule circonslauee que les rrsidus soieul nuls pcnnel de mettre inimédiatement/(M) sous la forme d'une drrlvée 'f'{ii)-

Pour la seconde espèce, ç(w) est aussi une fonction de seconde espèce; mais, si/(«) est de première espèce, 'f{u) peut contenir dans sa décomposition un terme en u et des termes en Ç(w — v) dont la somme des résidus peut n'être pas nulle. Pour embrasser à la fois les deux cas, disons que 'j'{n) est, de la manière la plus i;énérale, un polynôme du premier degré en a et (B, avec des coeflicienls doublement périodiques.

Ceci entendu, nous avons

F(k) = %"^"'o'^ Fi(w) = (x"^"'cp)'-+-Fi(«) — ('''"?'")'?, i7:(a"3"')'= nx"-^^^'"[r, -4- i» p( u — a)] — ma" Ji'«-' [r/-f- oi' p( n — a)].

Celte dernière dérivée est, elle aussi, un polynôme en a el ^, à coefficients doublement périodiques; mais les degrés maxima y sont moindres que dans F(w). En posant donc

F(fO = (^"hl"'?)'+*("))

on aura, pour 4>, une fonction de même nature que F, avec abaissement des degrés maxima. Raisonnant de même sur $ et ainsi de suite, on voit que F se compose d'une somme de termes analogues au premier (a"j2"''j)'. Mais, à cause de la nature de 9, on peut aussi considérer ce premier terme comme étant formé par la somme de trois analogues oiî les fonctions analogues à '^ sont doublement périodiques. Donc, en conclusion, quand un polynôme entier en H el "Çii, à coefficients doublement périodiques, est la déri- \:ée d'une fonction uniforme, cette dernière est un polynôme de même nature, mais dont le degré peut surpasser d'une unité celui du polynôme primitif .

Dans l'analyse précédente, en passant de o'(«) à 'f{u)^ on n'a |)oint mentionné la constante arbitraire d'intégration. Il est clair (pi'en ajoutant ensuite cette constante on n'a point à modifier l'énoncé final.

Forme générale des intégrales.

Supposons d'abord une ('(pialion du premier ordre, (jui nous donne le rapport y' '.y exprimé par une fonction doublement p('-

5^2 DEUXIÈME PARTli:. — APPLICATIONS.

riodlqiic do première espèce. En raisonnant comme on l'a déjà lait au lome I (p. 21 1), on trouve Immédiatement quejK, supposée Ibnclion uniforme, est iine fonction doublement périodique (de première ou de deuxième espèce). C'est aussi, d'ailleurs, ce que l'analyse générale de notre premier paragraphe nous apprend , puisqu'il existe une seule intégrale. Pour une équation d'ordre quelconque, complétons l'énoncé déjà donné en disant que V intégrale complète se compose d'uti polynôme entier en u et îi^w, à coefficients doublement périodiques, et d'un degré inférieur, d'une unité au moins, à l'ordre de V équation.

Soit, en efTet , f{u) l'intégrale doublement périodique qui existe certainement pour une équation d'ordre quelconque m. Changeons d'inconnue et prenons, au lieu de^)', celle-ci

La transformée en :;, comme on sait, est d'ordre [m — i). Admettons l'exactitude du théorème pour cet ordre {m — 1). En ce cas, z est un polynôme entier en u et s'^ de degré au plus égal à (^,)i — 2). Mais, suivant les hypothèses, z est la dérivée d'une fonction uniforme, j' :/. Cette dernière, suivant la proposition du dernier paragraphe, est donc aussi un tel polynôme, dont le degré est, au plus, {m — i). Il en est autant pourj'. La proposition est ainsi prouvée.

On peut préciser davantage en distinguant les intégrales particulières, comme il suit :

Les intégrales se répartissent en groupes : dans un même groupe, contenant n intégrales distinctes, V une d'elles est doublement périodique, une autre est du premier degré en u et X^u, une autre du second degré, etc., une seule est du degré [n — i). Tous les coefficients ont les mêmes multiplicateurs que la première intégrale.

Supposons, en effet, que ce groupement ait lieu pour les intégrales z^ définies par l'égalité (8) et appartenant à une équation d'ordre {m — i). L'intégration, telle qu'on l'a expliquée dans le paragraphe précédent, laisse subsister ce groupement. Envisageons d'abord un groupe {z) où les coefficients soient de seconde espèce.

r.ll.VPlTRF. Mil. — ÉQUATIONS DIFFÉRE.MIKI.I.ES LINKAIHKS. 543

Dans l'intégralion, le de<;ié en a el ^u ne s'élcvc pas; la multiplication pary(«) fournit ensuite un groupe {y), àonifiii) ne fait pas partie, et qui est composé, relativement à u et ^w, comme le groupe (:?) lui-même. Prenons maintenant un groupe (v), où les coefficients soient de première espèce. L'intégration de ces fonctions peut fournir un groujie dans lequel il ne se trouve pas de fonction doublement périodique; mais on doit rattacher à ce groupe la constante arbitraire d'intégration. En multipliant ensuite pary"(w), on obtient un groupe {y) qui satisfait aux conditions de l'énoncé el contient une intégrale de plus que le groupe (z) dont il provient. On voit notamment que, s'il n'existe aucun groupe (:;) où les fonctions soient de première espèce, l'intégrale y=f{u)coïnpose, à elle seule, nu groupe.

Dans le cas le plus simple, où l'équation d'ordre m possède m intégrales doublement périodiques, chacune d'elles constitue, à elle seule, un groupe.

Équations pour lesquelles les rapports des intégrales sont uniformes.

Nous arrivons maintenant à la seconde classe d'équations signalées (p. 536) comme intégrables : ce sont les équations pour lesquelles les rapports des intégrales sont des fonctions uniformes. Cette circonstance a lieu, quand, pour chaque point singulier, les exposants s, auxquels appartiennent les intégrales, diffèrent par des nombres entiers.

Pour le point singulier u = a, soient 5, s -{- p, s +/■>', • • • ces exposants, racines de l'équation déterminante (2). Leur somme, d'après cette équation, s'exprime au moven de ^,, qui est le résidu du premier coefficient a^, pour le pôle ^^ ^ a, de cette manière :

ms -(- /? -T- // — . . . = l-m(7}i — I ) — 6 1 .

Soient maintenant a', a". ... les autres points singuliers; on aura, pour chacun d'eux, une relation analogue. La somme des résidus ^(, pour tous les pôles de la fonction «(, est nulle. En conséquence, 5, 5', s'', . . . désignant un des exposants pour chaque point singulier, on a, comme on voit,

([)) >n(s -i- s' ~ s" -r . . . }— un noml)rc entier.

544 DKL'XIÈME PARTIK. — APTUCATIONS.

Ceci reconnu, cherchons J'aljord s'il est possible de trouverune fonction y(/^) telle, que la transformée de l'équation proposée, avec l'inconnue z=^yf{u), appartienne à la classe dont nous venons de nous occuper.

En premier lieu, cette transformée doit avoir des coefficients elliptiques. Los formules du changement de l'inconnue montrent

immédiatement la condition nécessaire et suffisante : y doit être

doublement périodique (de première espèce). Prenant la formule de décomjiosilion en éléments simples, l'intégrant et passant de log/ à/, comme on la fait déjà (t. J, p. :>. i i), on trouve

'■^(u) étant une fonction fractionnaire et uniforme.

En second lieu, le produit i'/(a) doit être fractionnaire et uniforme. De là résulte que '^(u) doit être nul; quant aux exposants c, c', . • . , ils doivent être entiers, sauf pour les fonctions a'(?/ — a) : pour ces dernières, les exposants doivent reproduire s, s', ... changés de signes, sauf des nombres entiers. La forme définitive de f{u) doit être ainsi

F(m) étant le produit d'une exponentielle et de fonctions c" à exposants entiers, positifs ou négatifs,

Y { u)= e^" :f{if — Ut))" j(u — iii)n' . ...

Mais ces exposants /?, /?', ... —s, — s', ... sont les résidus de -y; leur somme est donc nulle. En conséquence, on a

(lo) S = A" -;- 5'-i- /'-T-. . . = un nombre entier.

Le problème n'est donc susceptible de solution que si cette dernière condition est remplie. Si elle Test elTectivement, on pourra construire y"(w) et le problème sera résolu. Voici donc un premier résultat : les équations de la seconde classe sont transformables en équations de M. Picard par un simple changement de l'inconnue, quand la somme des exposants, afférents aux divers points singuliers, est un nombre entier.

Clivrniu: \lll. fCQLATIO.NS UIFFÉKK.MIKLLES LI.NtAlUES. '}\~)

Ce u est vraiineiit jjas, en ce cas, une classe nouvelle. Supposons inaintenanl (|ue la condition (lo) ne soit pas remplie. La somme S n'est pas entière, mais elle est commensurable; son produit par l'ordre ni est un nombre entier (9). C'est de là que découlent les propriétés principales de l'ciquation.

Prenons un cnlier /?, Ici (pic lo produit n-S soit lui-même un nombre entier; tians la suite, nous le choisirons le plus petit possible; pour le moment, il est quelconque, égal à /;?, si Ton veut. Changeons la variable indépendante {^) en prenant, au lieu

de u. la variable r = -• Avec cette nouvelle variable i, TcHiuation Il 1

conserve ses caractères distinctifs : ses coefficients sont des fonctions ellipti(pies de v, les rapports des intégrales sont des fonctions uniformes. Mais maintenant les points singuliers, pris toujours aux périodes près, ou, pour mieux dire, dans nn parallélogramme des périodes (t. I, p. 45t)), sont en nombre plus grand que précédemment. Chaque point singulier u -- a donne, en effet, lieu à n- points singuliers

Il est, d'ailleurs, évident que les intégrales r appartiennent, en chacun de ces n- points singuliers, aux mêmes exposants que, dans l'équation primitive, en le seul point u = a. Pour la nouvelle équation différentielle, la somme, analogue à S, est donc maintenant /i-S, nombre entier. Cette équation est donc dans le cas dont on a parlé en dernier lieu. Ainsi les équations de la seeonde classe, quand la condition (10) n'est pas remplie, sont transformables en celles de la première classe, par un changement de la variable indépendante et de l'inconnue.

Changement de l'inconnue.

S'il n'y a qu'un point singulier à considérer, c'est-à-dire un seul où les exposants ne soient pas entiers, la formule la plus

(') Dans le Uoisicinc Vuluiiie de cet Ouvrage, quand on connaîtra la ihcorie de la transjorinaiion , on verra comment le même but peut cire atteint par un changement des périodes.

"l'iG DiaXltMl- PAUTIK. — APPLICATIONS.

>iinplc pour le chanycmoiil de l'inconnue est ly suivante

ilans laquelle 6„ est la fonction (jui joue un rôle prépondérant

dans la théorie de la multiplication.

Quand il se trouve plusieurs points singuliers, on obtient une

l'orniulc conven;)ble en mettant, au second membre, le produit

des laclcurs analogues, chacun d'eux relalii à un point singulier.

Mais il sera mieux, pour notre analvse, de multij)licr encore par

les divers facteurs

ri

où a sera arbitraii'e. Ce produit a bien, comme il convient, une l'onction doublement périodique de première espèce pour dérivée logarithmique. De cette manière, la fonction

revêt la forme suivante

a'i II — 'xY a'(u — a' )■''

71HS

Dans cette fonction o, il ne faut pas l'oublier, les exposants 5, 5', . . . sont de nature quelconque, en sorte que o n'est point une fonction uniforme, en général. Mais nous allons en déduire une fonction uniforme, qui va être fort utile à considérer, à savoir

„4) >,(.)= '^''T?''*=c^"TV''~-'" -T"-

Cette fonction aefTectivement la forme simple qui figure au second membre, puisque le changement de v en ^' H — '— correspond au changement de u en w~^w; il a pour effet de multiplie)*

ClIAlMTUi; Mil. — ÉQUATIONS DIFFtUEMIKLLES LINÉAIIIES. 547

simplement par une cxponcnliclle du premier degré chaque foncliou j (lu iiuiiH'raleur ( 1 3) de 'j.

Comme A est un nombre entier, la fonction 0 est doublement périodique, de deuxième espèce; mais il y a plus, c'est une de ces fonctions particulières (t. I, p. 234) dont les multiplicateurs sont des racines de ruiillé. On a, en ellet,

A = li] n(s -T- s' -+-...) = ^7] nS ;

pour la période ato, le multiplicateur de O(t') est l'exponentielle ayant pour exposant

2 A o) — 2 X r, — = A nS(r,i)i — r. w) ; ' n

la quantité 4 (y; ^L) — riw)est un multiple entier de 2t7:, nS est commensurable ; le multiplicateur est donc bien une racine de rtiiiité; c'est une racine rj^'"'", si rj est le dénominateur de nS. Le même raisonnement s'applique à la seconde période 20/. En outre, si l'on envisage les diverses fonctions 0('r), obtenues en prenant

successivement, pour-^-j toutes les 7^"-"""=^ parties de périodes, on

a, de la sorte, pour l'ensemble des deux multiplicateurs, toutes les combinaisons, deux à deux, en nombre ^-, des racines q'^^"^"^ de l'unité. Chacune de ces combinaisons est répétée plusieurs fois : le nombre de ces répétitions est égal au quotient 71- '. q-^ nombre entier, puisque /iS a pour dénominateur q^ et que /i-S est un nombre entier.

En résumé, les fonctions ')(<'), dont le nombre est n-, sont des fonctions doublement périodiques de deuxième espèce; elles se répartissent en q- groupes, comprenant chacun pareil nombre de fonctions, qui, dans un même groupe, ont mêmes multiplicateurs. Ces multiplicateurs , essentiellement différents d'un groupe à l'autre, sont les racines g''^""^* de l'unité.

Théorèmes sur les équations de la seconde classe.

Nous venons de ramener les équations de la seconde classe à celles de la j)remièrc ; mais, dans le cas où cette transformation exige le changement de la variable, on doit la considérer comme

548 DEUXIÈME PAllTIE, — APPLICATIONS.

purement tliéorique. La transforma lion donnerait lieu à des calculs non sculcmcnl impraticables, mais encore inutiles. On le pressent d'avance et Ton s'en convaincra en étudiant les propriétés, très spéciales, de l'équation transformée. C'est pour faciliter celte étude que nous venons d'approfondir la nature des fonctions 6((').

Jusqu'à présent, nous avons laissé indéterminé l'entier /i, assujetti seulement à rendre entier le produit n'-S. Nous allons maintenant le prendre le plus petit possible. A cet eilet, nous supposerons que S, réduit à sa plus simple expression, ait la forme

où N,/>, q sont des entiers, mais où p n'est divisible par aucun carré. La plus petite valeur de n est alors />^; nS a pour dénominateur q, conformément à la notation dont on vient de l'aire usage en parlant des fonctions 0.

La transformée en r, suivant le théorème de M. Picard, admet au moins une intégrale doublement périodique (de première ou de deuxième espèce); soit /(t') cette intégrale, Il v cori'espond, pour l'équation proposée, l'intégrale

^-^(jÙ^iJ)

Mais , la proposée ayant des coefficients doublement périodiques, nous avons, en même temps, les n- intégrales, comprises dans la formule

11 en résulte, pour la même ti'ansformée en z, les n- intégrales qui s'en déduisent et qui, selon l'égalité (i4)> ont cette expression

générale :

JKi

Toutes les fonctions fiv^ — - 1 ont mêmes multiplicateurs,

ceux de/(i^), qui est l'une d'elles. Les quotients ^, : z (et l'unité est l'un d'entre eux) se répartissent donc comme les fonctions 0

f.lIAriTRE Mil. — l-Ql VTIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 549

cllcs-nirnirs, dont ils ont los iniilliplicaUMirs. l'In conséquence, chaque inh'^rdlc donhlemcul pcriodù/ue (de première ou de deuxième espèce) de l'équation transformée fait partie d'un groupe comprenant n'-=/y-q- intégrales doublement périodiques. Dans ce gmujie, il y a (f- sous-groupes , comprenant chacun p- intégrales. Dans un même sous-groupe, les multiplicateurs sont les mêmes. D'un sous-gioupe à l'autre, les multiplicateurs sont différents; ce sont, tous, des racines ^"■"'<'^' de l'unité.

La question importante qui se pose maintenant est de savoir si toutes ces intégrales sont distinctes. Elles le sont assurément d'un sous-groupe à l'autre, à cause de la différence des multiplicateurs. Si, dans un sous-groupe, il existe des relations linéaires entre les p- intégrales, pareilles relations, en même nombre, existeront évidemment dans chaque sous-groupe.

Pour résoudre cette question, imaginons que l'on construise l'équation différentielle linéaire qui admet les seules intégrales j'( , au nombre de n'- = p''q'-. Cette équation, avec la variable t^, aura des fonctions elliptiques pour coefficients 5 mais elle ne doit pas

changer si l'on change v en c -f- ; c'est ce qui résulte de la

composition des intégrales y,. Or la formule qui exprime 3'(/ir) en produit (t. I, p. 198) fait voir que les cocflicients sont alors des fonctions elliptiques de nv, c'est-à-dire de u. L'équation différentielle que nous considérons maintenant est donc, comme l'équation proposée elle-même, à coefficients elliptiques avec la variable u. De plus, les exposants s, 5', . . . auxquels appartiennent les intégrales (à des nombres entiers près) y sont encore les mêmes pour les mêmes points singuliers. En effet, y* est une fonction uniforme et ces exposants 5, 5',. . . sont tous amenés, dans j'i, par le facteur cp.

Soit maintenant /i, le nombre des fonctions :■^ (|ui, dans un même sous-groupe, sont linéairement distinctes : alors q'-nt est le nombre total des fonctions^)',, linéairement distinctes; c'est l'ordre de l'équation qui admet ces seules intégrales. En conséquence, y-/<,S est un nombre entier; /?, est alors un multiple de p. Voici donc la conclusion :

Dans un même sous-groupe, le no/uh/e des intégrales lincai-