DEUXit.MK r.UniR. — APPLICATIONS
rcmcnt dist inclus est nu moins ci^dl à p et toujours multiple de p .
Enfin, pour ne négliger aucun cas, imaginons que la transformée en z ait aussi des intégrales non périodiques, dont nous avons précédemment (p. 54'>-) étudié la foruie. Les mômes considérations s'y appli(]ucnt encore et, d'une manière générale, on peut dire que chaque intégrale z fait partie d'un groupe eomprenant des intégrales linéidrement distinctes, en nombre égala un multiple de pq-. Ce groupe est partagé, comme précédemment, en cj- sous-groupes, dont chacun comprend pareil nombre d'intégrales.
Ces théorèmes facilitent singulièrement l'intégration des équations différentielles appartenant à cette seconde classe, que nous venons d'étudier, pour les exemples, du moins, qui s'offrent dès l'abord, et surtout par comparaison avec les équations de la première classe ('). C'est pourquoi nous donnerons d'abord des exemples pour cette seconde classe. Les exemples que nous choisissons se rapportent à des équations ayant un seul point singulier où les exposants s ne soient pas entiers. Ce sont les exemples les plus simples, mais ils sont aussi instructifs que si le nombre de ces points singuliers était quelconque. En ce dernier cas, si l'on pose effectivement
et qu'on prenne Y pour nouvelle inconnue, on obtient une transformée dans laquelle la singularité est, si l'on peut dire, trans-
(') Il y a un autre moyen de ramener à la première classe les équations de la seconde. Soit, en cfTet, /• = pq'' le dénominateur de S. Toute fonction homogène, et de degré r, formée avec les intégrales y, par exemple j"", y^''}\^ ■ ■ -, est uniforme. Ces diverses fonctions sont les intégrales d'une équation différcnliclie linéaire, qui appartient ainsi à la première classe. Cette dernière étant intégrée, on en déduira les intégrales y de 1 "équation proposée. .Mais celte transformée est d'un ordre
. , . (/• -4-l)(''-^ 2). ..(/•-)- «l —l) „ 1 • rr .f . • .■ 11 /-> .
égal a ■ — ■• Son emploi ellcctif est impraticable. C est
donc là un procédé d'intégration purement tiiéoriquc. Il a été indiqué par M. Ap-
pell {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCII, p. 1007)
à un moment où ce savant géomètre ne pouvait connaître la théorie qu'on vient
de lire, communiquée antérieurement à l'Académie, mais non publiée.
ciiAi'iTiu: \m. — ÉQiATio.NS DiFFÉiiKM ii;lli:s lim:.vihfs. Vu
portOe au seul j)oiul ail)ilrairo // ::= <7, avec Icxposant
\ oici encore utie autre tjb.servalion. Au Heu de // =/>/y, on aurait pu prendre n z^pq-, Le.s raisonnement.s subsistent et ion trouve ainsi, comme précédemment, (pie cliaque inti-grale .:; appartient à un i^roupe comprenant des iiité!:;rales en nombre égal à un multiple de /?, ayant, de plus, 1rs mêmes mulliplieatears.
La variable ind«-|)cndante est alors e, = - := - • C'est en em-
plovant, comme nous avons fait, la variable r, qu'on obtient la connaissance plus approfondie de la répartition en sous-groupes. En outre, l'emploi de t^est plus simple; mais il est bon de pouvoir aussi considérer la variable t'|.
Quelle que soit la variable, v ou r,, dont on se serve, voici comment on obtient les exposants auxquels appartiennent les intégrales c, pour le cas, que nous supposerons, où il se trouve un seul point singidier à considérer dans l'équation en j', par exemple le point u = o. D'après l'égalité (i i), nous posons alors
(i6; jK = -(•i'«^'>■•
Il V a lieu de considérer, pour :, les divers points r =
Pour le premier, t^::^ o, la fonction •l>,i est infinie, d'ordre /i- — i. en sorte que, les exposants desj^ étant s, s -[- p, s -h />' . • • . , ceux des z sont n-s, n-s-r-p^ n'-s-hp'. •■■■ Mais, pour les autres points, '1,1 est infiniment petit, du premier ordre, et les exposants des .:; sont o, p, p', .... Si l'on a pris, pour s, le plus petit des exposants, en sorte que p, p', ... soient positifs, on voit que le premier point singulier, v = o, peut, seul, être un pôle de ;;. Si, en outre, les y ne deviennent infinis pour aucune autre valeur de u, et ceci a lieu notamment quand Técpiation proposée n'a aucun autre point singidier (où les exposants soient entiers); en ce cas, les fonctions :; ont les seuls pôles c := o.
Cas particuliers.
Voici un cas très remarquable des équations de la seconde classe : c'est celui où le dénominateur de S, qui est toujours
,')52 DEUXIÈME PAUTIK. APPLICATIONS.
tin diviseur de l'ordre /??, esl précisément égal à cet ordre. Puisque chaque groupe comprend toujours des intégrales distinctes en nombre au moins égal à ce dénominateur et que ce dénominateur est justement l'ordre de l'équation difTérentielle , il y a un seul groupe. Le rapport de deux intégrales queleonques est alors une Jonction doublement périodique de pretnière espèce, relativement à la va/-ialde r,. Avec la variable r, on peut distinguer les intégrales de manière que le rapport de deux quelconques ait pour multiplicateurs des racines q^'^'^^'^ de l'unité. Mais on peut aller plus loin encore et déterminer, par avance, les multiplicateurs des intégrales z.
Pour ce but, considérons le déterminant
r dz^ d-^ z-, d"'-^z,„'\
dont chaque ligne contient les dérivées, d'un même ordre, des m intégrales distinctes, ayant, toutes, les mêmes multiplicateurs si la variable est r,, ou des multiplicateurs qui diffèrent seulement par des racines ^"^"""^ de l'unité, si la racine est c. Dans un tel déterminant, on peut mettre en facteur une des quantités :; et écrire
'1/ di' dv^ dv'"-^ J V -1 /
Que la variable soit v ou t^,, le nouveau déterminant est doublement périodique de première espèce; si, en eiïét, la variable est <',, chaque élément t est une fonction de cette nature. Si la variable est V, ces éléments t ont pour multiplicateurs des racines ^•'"^''^ de l'unité; mais toutes les racines s'y trouvent pareil nombre de fois et leur produit fait l'unité. Si donc [jl est un multiplicateur de z-^ tjL"' est un multiplicateur de D.
Le même déterminant, formé avec les i', ne diffère de D que par le facteur ('1/,^^)"", suivant l'égalité (lO), si nous supposons le seul |)oint singulier u := o, cas auquel on peut réduire tous les autres, comme on l'a précédemment observé, et pour lequel, S étant égal à 5, ms est un nombre entier. Le déterminant D', formé avec les^, a donc aussi le multiplicateur ;j/". Si l'on revient à la variable //, le déterminant analogue diffère de D' par un simple
CIl.VriTUi: Mil. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 553
laclcur niimériqiio. Mais D', d'après les j)r()[)ri('lcs élémentaires (les équations (lillV'renliclIes, s'exprime ainsi
(ix étant le premier coefficient de l'équation. Les résidus de <?,, comme on l'a vu (p. 543), dillèrent des nombres m5, pour chaque point singulier, par des nombres entiers seulement. Dans le cas j)résent, ils sont tous entiers et D' est bien effectivement une l'onction doulilement périodique de seconde espèce, dont on peut trouver les nuilliplicaleurs v, v'. De cette analvse résulte que les multiplicateurs de z^ sont les racines m''""*'^ de v et de v'.
En particulier, si C équation proposi'e manque du second terme (rt, = o). D'est une constante elles multiplicateurs des intégrales z sont des racines m'*^""*^* de l'unité.
Si, en outre, les coefficients de l'équation ne contiennent aucune irrationnelle, les intégrales z sont des fonctions doublement périodiques de première espèce, la variable étant r. En effet, elles ont mêmes multiplicateurs; le caractère rationnel de l'équation s'oppose alors à ce que ces multiplicateurs soient autres que l'unité.
Ce sont des équations présentant tous ces caractères que nous allons prendre pour exemples.
Équations différentielles linéaires, attachées à la division de l'argument par '.\.
Prenons d'abord Téquation, du troisième ordre, suivante
" 7 ) y" — I ji " -y' — h v « -7=0,
dont le seul point singulier est u =^ o. Les racines de l'équation déterminante (a) sont — j, — | +i ^ — i + 3. A cause des lacunes qu'offrent les développements de pu et de J)'w, on est assuré que les intégrales appartiennent effectivement à ces nombres, pris pour exposants (p. 535, note). C'est donc bien une équation de la seconde classe; elle présente toutes les particularités signalées dans le dernier paragraphe. En posant
^=yvh%
on obtient, pour;, une fonction doublement périodique ordinaire de v = ^u, appartenant à Vun des exposants — 3, — 2 ou zéro, pour r = o. De plus, :; a le seul pôle c = o. C'en est assez pour conclure les trois intégrales
^ = 1, pi-, pV,
et, par conséquent, riuLét;rale complète
Par le changement de u en 11 -\ — > on obtient, pour j-, de nouvelles formes, qui rentrent bien dans la précédente. Prenant, en
effet, le rapport d'une de ces nouvelles intégrales à la première
(63 r) ^, on obtient, pour ce rapport, l'expression
On retrouve, dans le dernier facteur, le cube de la fonction générale, dont les multiplicateurs sont racines cubiques de l'unité (t. 1, p. 234), et il est visible que le produit est linéairement exprimable par pv et p' v.
L'équation (17) est un cas particulier (a = — i) de la suivante, où a désignera un entier, positif ou négatif,
, ON ■" 4«- , 2a(a — 3)(4a -h 3) ,
(18) y j-pu.y-i — pu.y = o,
et à propos de laquelle on remarquera, en passant, qu'on obtient son adjointe par le simple chaugement de a en — a. Si doncj>^i etj'o sont deux intégrales de cette C'qualion, yty.^ — y-^yt est une intégrale de l'équation obtenue par ce changement de a. Il suffirait donc d'envisager, pour a, des valeurs d'un même signe. L'équation déterminante (2), pour le seul point singulier « = o,
CIIAPITUE XIII. — ÉQl ATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. OOJ
a pour racines
donl les difTcrenees sont enlii-res. L'une de ces dlfTérences est impaire ; la nature des coefficients de réqualion (i8) assure que, à l'égard de cette difiercnce, la condition subsidiaire est remplie (p. 535, en note); l'autre est paire, mais égale à 2; la lacune que possèdent, au début, les développements de pu et de p'u, assure également que la condition subsidiaire est remplie pour cette différence. Les nombres (19) sont donc effectivement les exposants auxrpiels appartiennent les intégrales.
Si a est un multiple de 3, ces exposants sont entiers; l'intégrale est uniforme. L'équation est alors de la première classe. Nous la laissons de côté.
C'est lorsque a est premier (nec 3 que nous avons une équation de la seconde classe. Elle présente toutes les particularités signalées dans le dernier paragraphe.
Nous supposerons a positif. En posant
on obtient, pour;:;, une fonction doublement péi'iodique de v=t^u, avec le seul pôle ^- = 0, multiple de l'ordc 6a, {Ga — a) ou (4rt — i), suivant l'intégrale qu'on aura choisie. C'est ce qui résulte des exposants (18), suivant la règle établie (p. 55 1) pour déduire, des ex])Osants auxquels appartiennent les ^", ceux auxquels appartiennent les z. Déterminons la dernière de ces intégrales, qui est la plus simple.
A cet effet, on développera, au moyen de l'équation différentielle (18), l'intégrale correspondante, sous la forme suivante, où
1 on suppose 5 = —H- 2« -+-i ,
Soit, d'autre part.
on on conclut
z= ('i-4«[i-4-(^AH-a)t^^-h(B+ p)fG-H(G-t- Y-4- Aa)<>8 4-...], et enfin
Soit, par exemple, a= i. Cette formule ('-io) se borne au premier terme. On a donc l'intégrale
L'équation proposée est l'adjointe de la précédente (17) ety a bien effectivement la forme j'ijKo — y-^J^i^ composée avec
cjui sont deux intégrales de l'équation (17)-
A titre d'exemple, nous allons faire le calcul du premier coefficient A dans le développement de y, en supposant, pour s, un quelconque des trois nombres (19). Ayant
pu — h — ffo ?<2 !... .
'h^ = P*i' — :^ff^p-'l'~ff3Pi'
on obtient
a = — ta,
I . „, ,, 4«- I 2a(a — 3)(4« -^3) i - AF(5--4)— —. ^2* H — — —^2= o,
3 [(a — 3)(4a-i- 3) — gasl
c'est-à-dire, pour 5 = — fa,
.jo 40
CllAPlTIU: Xlll. — ÉyLATlONS UIFFÉIUJ.MI ELLES LIM-AIRES. 55^
pour s = — f <^* + 2,
I r/((7 — 3)(iort -<- 3) . I aiioa- - 'l'ia — 3i)
4o 2 a — 5 4" îi<ï — 5
pour 5 = — I rt -;- 2 « -t- 1 ,
3 a(4«-^3) . I a(4'35 — ii) A = .~ g2, A -^ a = p- g..
Eu prenant a^i, on obtient pour l'intégrale ^, qui répond au second exposant,
""^ i ~ 6Ô * - ~ ■ ■ ■ '
d'où résulte, sauf un facteur numérique, z = J3"r, intégrale qui correspond aux valeurs i et p' v de z dans l'équation (17). L'intégrale qui répond au premier exposant exigerait, pour être formée complètement par ce calcul direct, le calcul de B -r |j. Les deux premiers termes de son développement sont
d'où résulte
jiP"^-— |é'2pi'-T-const. = -(pt'pV — p'2f),
la constante étant prise égale à| "-j. Cette dernière correspond aux valeurs pv et p'v de z pour l'équation (17).
Les calculs précédents suffisent à fournir une intégrale pour l'équation (18) dans le cas « = 2. La formule ( 20) nous donne (')
La même méthode s'applique à l'intégration directe de l'équation (18) quand on y suppose a négatif; mais, sauf le cas a =. — i .
(') Dans le Mémoire sur la réduction des équations linéaires, déjà cité, cet exemple se trouve à la fin, p. 296; mais il s'y rencontre une faute de calcul : on avait mis — (4a -n) au lieu de f\a—n dans l'expression de A-i-a; de là ua
coefficient numérique erroné pour le terme en g^p -•
j58 deuxièmc l'AiniK. — ArPLic.viioxs.
le nombre îles termes qu'il faut prendre dans le développement dey est, de suite, très grand et le caleul devient fort long (').
Équation du quatrième ordre.
Dans Téqualion du qualriènie ordre
(21) y"— \pu.y"— Bp'ii.y--{Gp"u — Dffi)y = o,
on peut déterminer les coefficients de manière que l'équation déterminante (21, pour le point singulier u = o, ait les racines 5, .V -r 2, 5-7-4? — 35. A l'égard des différences égales à 2, la condition subsidiaire est satisfaite grâce aux lacunes des développements des coeffieienls; mais la différence égale à 4 exige une con- <lition, qui est la suivante :
-hXsis — l) -:- B5 -i- G — loD = o.
Par là, les coefficients sont tous déterminés et l'on trouve
B ={(8i-3-i-24s2- io3-+- 3), C — \s^-(S-r-'2){S -r- ^),
Supposons donc les coefficients ainsi choisis et prenons 5 = — {(2« -r 1)5 '^^ étant un nombre entier positif. La différence des deux racines 5 et — 35 est alors entière; mais c'est un nombre impair, et il n'y a pas de condition subsidiaire à faire intervenir.
Le dénominateur de 5 est ici un carré. En posant, suivant la théorie (la fonction 'l-y se confondant avec — p'),
on a, pour ^, une fonction uniforme; de plus, nous savons d'avance que, pour la variable t» = ^«, les intégrales z sont des fonctions doublement périodiques de deuxième espèce, dont les mul-
(') Dans le Mémoire qu'on vient de ciler, l'intcgralion a été faite pai' une autre métliodc pour le cas a — — ?. (p. 292 ).
ciiArniti: xiii. — éclations oifkeiikmiklles Li.>tAiui;s. 559
liplicaleurs reproduisent les ([iialre combinaisons des racines carrées de ruiiilé. Va\ oiilie, les exposants auxrjuels ap[)artiennent les :, pour le pùlc v n= o, sont les suivants :
— ('irt-i-i), — (2a — i). — \2a — 3), o.
Les éléments simples sont les trois fonctions ( ^^ ) et jîc. Seul,
ce dernier élément simple peut donner une fonction qui ait une valeur finie, différente de zéro, pour (^=0. Les trois autres donnent toujours des fonctions impaires. 11 résulte de là qu'une intégrale z se réduit à une constante. On a donc, pour l'équation proposée, l'intégrale
qui manifestement subsistera quand s sera quelconque, bien qu'on l'ait trouvée en supposant s = — 7(2 a -j- 1).
Rien, maintenant, n'est plus aisé que de trouver d'autres intégrales-, il suffit de prendre
(23) j- l^p'^l^ûj ',
M étant une demi-période quelconque. Si l'on veut mettre une telle intégrale sous la forme (22), on se servira de la formule d'addition des demi-périodes
(^a— eg)(ea— '?v)
d'où l'on conclut
p'(v~io^) (ea— ^3)(ea— ey) ./C('\*
Une intégrale (23) peut donc s'écrire sous la forme en sorte que les intégrales z sont, outre l'unité, les trois fonctions
J6o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
L'emploi de la variable r, = {w mène à des opérations différentes. En posant
on obtient, pour z-i, une fonction doublement périodique ordinaire de r,; ses exposants, pourc, = o, sont 165, i6A-f-2, 165 -1-4-, 12 5. On voit que l'emploi de la variable Vt ne conduit pas à trouver immédiatement l'intégrale. Dans le seul cas 5= — {, cependanl, ces exposants sont — 4} — 2, o, — 3, et l'on a, de suite,
Pour comparer cette forme à la précédente, on devra se souvenir de la formule (t. I, p. io5)
Équations différentielles linéaires attachées à la division de l'argument par un entier quelconque.
Considérons, en premier lieu, la fonction
ni
où les coefficients c, c', ... sont arbitraires; cherchons l'équation différentielle linéaire, à variable u, dont y est l'intégrale complète.
En observant l'expression du premier facteur
'l -1 in I
Il \ >"■
on voit d'abord que, pour w = 2oj, les diverses fonctions y appartiennent aux exposants , —
quelle que soit la période aàj.
ri I I
tiennent aux exposants , h i , •••, r wî — 2, — — \-ni
