CHAPITRE XIII. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

En second lieu, l'expression de la fonction '|/^ en déLerminant (t. I, p. 222) montre que le déterminant, composé avec les m intégrales et leurs dérivées successives, est constant. Il n'y a donc pas d'autres points singuliers que ceux du premier facteur, c'està-dire a = 2 0).

Si, enfin, on change u en u -\~ 20), le calcul qu'on a fait plus haut, pour le cas m = 3, élant répété ici, on trouve que la nouvelle fonction rentre dans la forme générale dey. L'équation ne chani;e donc pas par ce changement. Par ces diverses raisons, on conclut, |)0ur l'équation cherchée, la forme générale

( '-4 ) 7''"' -<- A p wj''«-2) -+■ B p' uji'"-^^ -4- (C p" u-{-Dff.2 )yi'"-'*i -1- . . . = o,

où les coefficients A, B, ... sont purement numériques. Telle nous avons vu l'équation (17), l'équation (21) avec s = — \, et, dans le Chapitre précédent, ce cas de l'équation de Lamé

Dans chacun des coefficients de l'équation (24), le premier terme intervient seul pour la formation de l'équation déterminante; il est parla connu. II reste des coefficients non encore connus, en nombre i, 2, 3, ... pour jk''"~'') y^"*"*", JK^'"~^\ • • •et aussi en pareil nombre pour y^"^~'\ y^"^~^^, yim-a)^

D autre part, en ne tenant compte que des difi'érences paires et supérieures à 2, entre les exposants, différences qui, seules, donnent lieu à des conditions subsidiaires, on a des conditions en

nombre i, 2, 3, ... pour les exposants h 4, h t>,

h S, ..., et aussi, en pareil nombre, pour les exposants

ho, r 7i hQ> •••• v^omme il se trouve une la-

cune d'une unité entre les deux derniers exposants, le nombre des coefficients non connus est précisément égal au nombre des conditions. On le vérifiera aisément et l'on trouvera que ce nombre

/m — 3\2 fm — ZY 3 . , . , , ^ , ,

est ( — ^ — j ^^"^ l / "^ ~ ' suivant la parité de m. louant a la

manière de déterminer les coefficients par les conditions, c'est ce (|ue la méthode générale, rappelée précédemment (p. 535), nous apprend : si, par exemple, il s'agit de former les conditions rela-