II. m

562 DEUVIÈME PARTIK. — APPLICATIONS.

tives à rcxposaiit s, en tenanl compte de l'existence des racines 5 + 4, 5 -H G, 5 + 8, on écrira le développement de y sous la forme

puis, m étant Tordre de l'équation, on égalera à zéro, dans le développement de son premier membre, les termes de degré 5 — ni -\- 4-) ^ — m + G, s — m -{- 8. Quant aux deux premiers, dont les degrés sont 5 — mets — m +2, ils manquent, l'un parce que s est racine de l'équation déterminante, l'autre à cause des lacunes que présentent les coefficients de l'équation différentielle.

On voit, par cet exemple, que les conditions subsidiaires donnent lieu, en ce cas, à des équations du premier degré entre les coefficients inconnus. On peut donc conclure que l'équation différentielle (24) est déterminée par ce moyen, sans ambiguïté.

Déjà, dans le cas du troisième et du quatrième degré, nous avons généralisé cette équation (24). Une telle extension s'offre d'ellemême, comme il suit : prenons les nombres 1,2, . . . , (m — 2), m, qui étaient, tout à l'heure, les différences entre les divers exposants et le premier d'entre eux : sans altérer ceux qui, parmi eux, sont pairs, augmentons tous les autres d'un même nombre pair 2«; choisissons ensuite le premier exposant de manière à obtenir encore une somme égale à \m[ni — ^ 1). Par ce moyen, nous avons, au cas où m est pair, les exposants

(s-i-aa-T-i, s-v-2« -H3,...,.v-^2a-t-2v — 3,) 2v

et, pour le cas où m est impair,

Toutes les différences paires sont ici les mêmes que dans l'équation (24)- Où est donc assuré qu'en conservant la forme de cette équation on pourra calculer ses coefficients de telle sorte que les intégrales appartiennent effectivement à ces exposants (aS, 20a). Mais nous ne voulons pas nous y arrêter plus longtemps et nous allons considérer une forme moins particulière.

r.H.Vl'ITKK XIII. — ÉQLATIOxNS DIFFÉRE.MIKLLES I.INÉAIHKS. 503

Autres équations d'ordre quelconque.

Prenons toujours, pour coefficients, des (onctions entières de pu et jî'w, alternativement paires et impaires, mais sans lacunes :

Les coefficients A, B, C, . . ., cpii interviennent dans l'c(jiialion déterminante, étant laissés de côté, il reste autant de coefficients arbitraires (juil v en avait, dans léquation (24), pour l'ordre

[ni -+- 2), c est-a-dire ( — — I ou t- 1 -j- -• iNous choisissons

les racines de Téquation déterminante sous la forme 5, 5-f-/>, s -r- p' . . . . , en prenant des nombres entiers p, p' . . . . positifs, à volonté, et s étant déterminée par la condition que la somme fasse ^ni(m — i). En posant donc s = — a '. m, on aura

Soit /i le nombre des termes impairs, parmi y?, p', p", ...; m — n — I est celui des termes pairs. Le nombre des conditions subsidiaires provenant uniquement des différences paires est

^n( n — i) -r- |(m — n){m — n — i) = lni( m — i; — n( m — n ).

Le minimum, si m est impair, est (^ — j ■> qui est le nombre

des coefficients arbitraires, et on l'obtient en prenant n^^,(ni zn i).

Si m est pair, le minimum est ^ni(m — 2), inférieur d'une unité à celui des coefficients, et on l'obtient en prenant n = ^m. Mais il faut observer qu'en ce cas, dans l'égalité (2-), le premier membre est de même parité que ^,m', a est donc pair, et le dénominateur de s, réduit à sa plus simple expression, ne peut être m. Si l'on prend n = ^ni — i, a sera impair et s pourra avoir effectivement m pour dénominateur. En ce cas, tous les coefficients de l'équation (26)50 trouvent entièrement détermines.

On a donc, de cette manière, un type général d'équation (26) dont les coefficients sont entièrement déterminés au moyen de (m — i) nombres entiers p, p', . . . arbitraires, quoique soumis à

des restrictions, comme celle de parité ou d'imparité. Mais la détermination de ces coefficients n'a plus lieu par des équations du premier degré, comme dans le cas de l'équation (24)- H s'y trouve un seul point singulier; les rapports des intégrales sont uniformes et le dénominateur de s est égal à l'ordre. C'est à cette classe qu'appartient l'équation de Lamé

(ï8) y"=[\a.{la-\-i)pii-^:c]y,

dont nous avons parlé au Chapitre précédent et pour laquelle, a étant impair, on a vu directement la forme de l'intégrale. Une certaine équation, du degré |(rt + '), déterminait a : elle exprime la condition subsidiaire, relative à la dififérence des exposants, différence qui est paire, a -h i .

A cette classe aussi appartient l'équation

y"-)-(Ap«+ a)y+Bp'ajK = o,

OÙ l'on prend

B =—-fi{l -i- [J. — 3)(-2X— [JL-f- ■))(2[JL — X + 3),

). et a étant des nombres entiers, dont l'un, au moins, est impair, et dont la somme n'est pas divisible par 3. Cette dernière a, pour

intégrale complète, f'j's-] multiplié par un polynôme

entier en p- et .p'-? pourvu que a satisfasse à la condition subsidiaire.

De même, l'équation (26), dans le cas général que nous venons

•l,„ — j multiplié par

un polynôme entier en p — et p — ; mais il est nécessaire cl ajouter ici quelques mots pour le démontrer. Ces équations, en effet, ont toutes les pro|>riétés signalées à la page 553, sauf la dernière : leurs coefficients contiennent des irrationnelles provenant des conditions subsidiaires. On est donc assuré, quant à présent, que l'équation admet m intégrales distinctes, ayant pour multiplicateurs des racines m^"''" de l'unité, les mêmes pour toutes les inté-