CHAPITRE XIII. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

grales. 11 laul prouver que ces inulliplicaleuis sont éf^aux à l'unité.

Quand m est impair, celle propriété résulte de ce que, en vertu de la forme de l'équation, à l'inléj^rale /(«) correspond aussi l'intégrale y( — II). Les multiplicateurs ne peuvent être donc que ± 1 ; ils sont donc ici égaux à + i .

Quand m est pair, il reste à savoir si les intégrales ont la forme

annoncée ou si, au contraire, le produit :• = y i'im — ) -, ayant les multiplicateurs ~r i pour la variable r = — > est décomposable

en éléments simples, avec 1 élément ^e'»', ou lo est une

des trois demi-périodes.

Admettons cette dernière hypothèse. Le quotient de z par l'élément simple est alors une fonction doublement périodique, qui, outre le pôle r = o, a aussi le pôle i' = co, ce dernier simple, puisque l'on sait (p, 55i)que:; n'a pas ce pôle. Ce quotient a donc la forme

(29) F(pO + jDVFi(pc')^ R[^(r - co)- ^> + rj,

R étant une constante, F et F, des polynômes entiers. Mais on a

I pV o'ot'S'si^

"i pv — CO i^V^iiV

Multipliant par l'élément simple^;?- 5 on voit que l'on trans forme le dernier terme (29) en

L'avant-dernier terme devient aussi, par la multiplication,

(B) -■>.~^{p^--p^)'eAp^),

tandis que le premier donne

Or ces trois formes se distinguent par la nature de la racine i" = tu, qui n'existe pas dans la première, est multiple d'ordre pair dans la seconde, d'ordre impair dans la troisième : en effet, j)'w étant nul, un polvnome entier en jdt, comme F ou F, , ne peut avoir la racine co qu'avec un ordre pair de multiplicité. On pourra donc partaijer les quantités c en trois groupes, dont deux de la forme (B) ou de la forme (C ), le troisième de la forme (A) où R sera remplacé par un polynôme entier en pr, ne contenant pas le facteur pc — pio.

On a vu (p. 55 1) que, pour v = ■ — , les intégrales z- appartiennent aux exposants o, p, p', p', • • • • Comme m est pair, w est une de ces /«'^™«* parties de période et l'on peut appliquer ce résultat à f = (0. L intégrale c qui appartient à l'exposant zéro a donc la forme (A). La forme (B) convient aux intégrales cpii appartiennent à des exposants pairs ; leur nombre est m — n — i ; enfin la jbrme (C) convient aux autres intégrales dont le nombre est n.

Mais ce qu'on vient de dire pour le point r = w s'applique aussi au point f = w'. Les intégrales qui appartiennent, pour ce point, à des exposants pairs sont nécessairement comprises dans la forme (C). Les n polvnômes divers, dont la somme compose F, ne peuvent, d'ailleurs, être tous divisibles par (pv — pw'), sans quoi aucune intégrale :; n'appartiendrait à l'exposant zéro pour r = co'. Les z appartenant à des exposants pairs sont donc en nombre (,n — i). Mais ce nombre doit être, d'autre part, m — n- — i ; donc n = ^m. Or nous avons précisément, pour une autre raison, exclu cette valeur de n. La supposition est donc impossible.

En conclusion, toute équation du tvpe (26). quel que soit son

ordre, a, pour intégrale complète, le produit de {•i„i — 1 par un

polvnome entier en i) — et p —

Si Ion supprime la condition que a soit premier avec /;?, l'équation reste inlégrable par les fonctions elliptiques, mais on ne peut plus assigner avec autant de précision la forme de la solution. Il convient alors d'admettre, m étant un nombre pair, la valeur ^ m pour le nombre n des différences impaires. De cette manière, l'équation contient, outre les entiers p, //, . . . ,