CHAPITRE Xnr. — ÉQUATIONS DIFFÉIIENTIELLES LINÉAIRES. ^iGy

un paraniùlre LoiiL à fail aihilrairc. A celte classe spéciale appartient Téqualion de Lamé, telle que l'a envisagée M. Hermite; c'est léqiiation (28) où l'on suppose, pour r/, un nonihic pair : y. est alors cnlit-rement arbitraire. .

Comme on Ta (ail, dans le Cliapilic piécédciil, pour rc'cpialion de Lamé, on peut prendre, dans l'équalion (a6'), pu:^^t pour nouvelle variable indépendante. La transformée a, pour coefficients, des polynômes entiers en /. Toutes ces équations, à ce j)oinl de vue, sont iiit(''<^ râbles algébrujuemcnl quand a est premier avec /«, puisque cfTeclivement n — est une fonction algé- '11 ■' /« ^

brique de t. Cette considération est de nature à faire comprendre quel progrès on a ainsi réalisé dans le Calcul intégral.

Troisième groupe d'équations d'ordre quelconque.

Nous pouvons encore étendre la définition des équations auxquelles s'appliquent les considérations précédentes. Il nous suffira de prendre la forme suivante

(3o) j("')--(Ap?<-f- a)7('«-2'-f■(Bp'K-^ [3p«-f- y)7''«-3)|-. . . = 0,

où les coefficients sont des fonctions entières de -pu et jj'«, ayant successivement le pôle u = o double, triple, etc.

Ici l'on pourra choisir, pour les dilTérences des racines de l'équation déterminante, des entiers quelconques; outre A, B, . . ., il y a ^m(m — i) coefficients et l'on devra satisfaire à des conditions subsidiaires en pareil nombre. L'équation sera donc généralement déterminée. Mais nous savons, ])ar des exemples antérieurs, qu'il se trouve des cas nombreux où il reste cependant des arbitraires.

Pour en donner un exemple bien frappant, revenons aux équations de la première classe et montrons, d'après M. Hermite ('), qu'il existe des t^pes généraux d'équations d'ordre m, ayant la forme (3o), dont les intégrales complètes sont uniformes, et qui renferment chacune m paramètres.

Considérons, à cet elTet, m éléments simples de deuxième espèce, à multqtlicaleurs ([uelconques pour chacun d'eux. Ils rcn-

(' ) Sur fjuelques applications des fondions elliptiques, p. f)9.

ferment, chacun, deux arbitraires; donc, en tout, im arbitraires. Soient )',, y^, • . • , y m ces fonctions. Tous les déterminants, composés avec ces fonctions et leurs dérivées, ont les mêmes multiplicateurs et le seul pôle a = o. L'équation différentielle linéaire, dont ces fonctions fournissent l'intégrale complète, a donc, pour coefficients, dés fonctions de première espèce; mais il se trouvera d'autres points singuliers que u = o. Pour parvenir à la forme (3o), il faut que le premier déterminant soit une constante, ce qui, en d'autres termes, peut s'exprimer simplement par cette condition : Les divers exposants auxquels les combinaisons linéaires des y appartiennent , au point ;/ = o, doivent avoir pour somme ^m(m — i). Cette condition est nécessaire dans la forme (3o). Elle est suffisante aussi; car le déterminant, dont il s'agit, a le pôle i< = 0 multiple d'un ordre égal à l'excès der,m(m — i) sur la somme des exposants en question. Si cet excès est nul, la fonction est constante.

D'après les suppositions, le moindre exposant est — i. Si les fonctions sont quelconques, les autres exposants seront o, i, 2 ,. . . ,{m — a). Pour remplir la condition, il faut que ces exposants soient modifiés, que leur somme soit augmentée de m unités, ce qui exige m conditions et laisse subsister seulement m arbitraires dans l'équation dont il s'agit.

On pourra, par exemple, supposer les exposants — i, o, i, 2, ... m — 3, 2 m — 2, ce qui est le cas pour l'équation de Lamé (a\ec ^az=i^ où les exposants sont — i et 2.

Si maintenant, dans l'équation ainsi construite, on suppose que quelques-unes des fonctions j-,, y^, ... coïncident, on aura, comme cas particulier, une équation où le pôle u = o sera d'ordre supérieur au premier dans l'intégrale.

Sans nous arrêter davantage à ces types généraux, nous allons, par des exemples simples, montrer les procédés d'intégration qu'on peut employer pour les équations de la première classe (').

( ' ) On pourra trouver d'autres exemples dans le Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables, déjà cité, et dans un autre Mémoire intitulé Sur les invariants des équations différentielles linéaires du quatrième ordre {Acta mathematica, t. III, p. 325).