CHAPITRE XIII. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
Exemple d'équation de la première classe.
Voici un exemple où le premier coefficient n'est pas constant :
(3i) (p u — po)/' — p' u .y — [n(n -^ i)(p u — pay- — p" a]y = o.
En l'un quelconque des deux points singuliers u:=±a., les racines de l'équation déterminante sont zéro et 2, et il est facile de voir, par un calcul direct, que la condition subsidiaire, relative à leur différence entière, est satisfaite. Mais on le reconnaîtra tout à l'heure par un autre moyen. Quant au point singulier u = o, les racines sont n et — (n +1), entières et à différence impaire, si n est entier, comme nous le supposons. L'équation a donc, pour intégrale complète, une fonction uniforme. Exactement comme pour l'équation de Lamé, où n serait changé en n -l-i, une intégrale particulière aura la forme
f désignant l'élément simple. On pourra, pour déterminer cet élément, employer toutes les méthodes données à l'occasion de l'équation de Lamé. Toutefois, la dernière méthode, celle qui est fondée uniquement sur les lacunes du développement de j^, ne suffirait pas; car ici c'est seulement jusqu'au terme du degré (/? — -i) en u que les lacunes existent.
En faisant intervenir les points singuliers // = zh a, on obtient les deux équations de condition qui manqueraient dans cette dernière méthode. Soit F(w) une intégrale, on a, par l'équation différentielle, F( — u) étant aussi une intégrale,
F' (a) p' a — F (a) p" (a) = 0, F'(— a)p'a-4-F(— a)p"(aj = 0.
Prenons, par exemple, le cas n = o, où F se réduit à l'élément simple. On a
F(«) y(«> .V . ^ . .^ pa — pv
SjO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
on en (Icdull
1 pa — pi' p a
2 pa — p f p a
pu -p.' ^'' ^^"-
L'équation esl ainsi intégrée immédiatement. Voici maintenant une curieuse observation. De Téquation (3i), on peut, par simple dérivation, en déduire une autre où les points ii = ± a ne soient plus singuliers. Ce n'est pas là une circonstance fortuite : toutes les fois qu'il y a des points à apparence singulière, on peut les faire disparaître de cette manière 5 le nombre des dérivations nécessaires dépend des lacunes que présente la suite des racines des équations déterminantes pour ces points. Dans le cas actuel, où il y a une seule lacune, d'une unité seulement, une dérivation suffît. Effectivement, en mettant 6p- — ^g-if ^iU. lieu de jd", on voit disparaître le facteur pu — pa, et il reste
(33) y"— [(n--i- n-i-6)pu — {/f^-^ n — 6)pa]y— min -^ i)p'uy = o. Au cas n = o, cette équation devient
y"=6{pu-hpa)y.
C'est l'équation de Lamé, où l'on ferait n ^ 2 et où l'on mettrait y au lieu de j^.
Cette équation de Lamé
z" = C)(pu -{- pa)z
a donc pour solution
- — i Mx-Lvlu
du ^ a
V ^l X étant donnés par les équations (Sa). Ici pa est précisément la constante h, employée dans le Chapitre précédent, et ces formules (32) coïncident effectivement avec les formules du Chapitre XII (p. 02-).
CnAPlTIin Mil. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 67!
Le cas n ^ i de l'i-qualion (3i) inonlrc un autre lien avec l'équation de Lamé. La Iransfonnée (33) devient
elle coïncide avec l'équalion au\ carrés des intégrales (p. 499), relative à l'équation de Lamé,
dont les solutions sont
Zi = — ■' c-»-.", ^2 = — ^^ ■ e«^«,
:f a :ïu
en sorte que l'équation (3i), en ce cas n = i, a pour intégrales z\ et z'\. La troisième solution de l'équation (33) est alors ri z^-
Autre exemple.
Dans l'équation suivante, on supposera les Jonctions elliptiques particulières, j)Our lesquelles on a i?o=o :
(34) y"^{\ — n'^)pu.y'-^[\(i — n'-)p'u — m'\y = o.
La lettre m désigne une constante cjuelconquc et n un nombre entier.
Pour ces fonctions elliptiques particulières, on a, en désignant par a une racine cubique de l'unité (t. T, p. 82), p(a«) = ajjM, en sorte que le développement (\c pu contient seulement les termes de degré — 2, 4, 10, 16, ... ; celui de p' u contient seulement les termes de degré — 3, 3, 9, i5, . . . . En un mot, u-pu et u^ p' u se développent suivant les puissances de w", à exposants entiers et positifs. A cause de la constante /;?, les développements des coefficients de l'équation ont lieu suivant les puissances de u^. Il s'ensuit que des différences entières, entre les racines de 1 équation déterminante, n'entraînent aucune condition subsidiaire quand ces différences ne sont pas divisibles par 3. Pour l'équation (34), ces racines sont i et (i ± n).
L'intégrale complète est donc uniforme quand n est premier avec 3.
57a DEUXIÈME P.VRTIK. — APPLICATIONS.
La relation p(a//') = a p« a pour conséquence p' Çy.i/) = p' u, d'où l'on voit que l'cqualion (34) est inaltérée par le changement de u en aw. Ayant donc une intégrale F{u), on en conclura les intégrales F(a«) et F(a2f/).
Soit /(;/) l'élément simple; F(«) a la forme {n étant supposé positif)
Pour obtenir une intégrale appartenant à un exposant plus grand que (i — n), il faut faire la combinaison F{it) — a''~' F(oi.u). Tous les termes du développement qui ont des exposants négatifs disparaissent. En même temps, disparaissent aussi tous les termes dont les exposants sont congrus à (i — n) (mod 3). Si n — I est divisible par 3, la combinaison dont il s'agit appartient donc effectivement à l'exposant i ; mais, dans le cas opposé, pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire que F(;/) manque du terme constant.
Prenant ensuite, pour composer l'intégrale qui doit appartenir à l'exposant (i -h /?), l'une ou l'autre des deux combinaisons
F(a)-i-aF(aM)-ha2F(a2M), si n — i == o (mod 3), F(m)-h F{oLu)-h F(a2a), si « 4- i = o (mod 3),
on voit que, dans le premier cas, F(w) doit manquer des termes à exposants 2, 5,8, . . . , (n — 2) et, dans le second, des termes à exposants o, 3, 6, . . . , (n — 2).
Il résulte de là un procédé d'intégration tout pareil à celui qui, au Chapitre XII, a été exposé, en dernier lieu, pour l'équation de Lamé. Nous allons nous borner au cas le plus simple, n = 2. En ce cas, F se réduit à l'élément simple /et, comme le terme constant doit manquer dans le développement, on a
il reste seulement à déterminer v en fonction de la quantité /;?, ce qui se fera en égalant à zéro le coefficient du terme en - dans
