CHAPITRE XIII. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. SyZ

le développement du premier membre (34). Nous avons (l. I,

d'après quoi, dans le ]>remier membre, le coefficient de - est

en sorte que, dans cette hypothèse gy^ o, l'équation

y"—3pu.y—j(3p'u^p'v)y = o

a l'intégrale complète

:r( H -- «') y , :f(ii -^ OU') ^3 .,, „ :f(u -f- u.-'i>) y

•^ -i a j IL -iu

où a est une racine cubique de l'unité.

C'est principalement le cas d'exception que nous voulons signaler, celui où, pv étant nul, les trois intégrales viennent à se confondre en une seule.

En prenant, pour fixer les idées, ^3<Co, nous avons (t. 1, p. 83)

, /- ifi!) — to', W">-;-aj.>

CDi = i'oJo V 3 , Wi = — } lOj = — = = >

d'où résulte

1(7. — i)o>, if a- — i)to.,

L'argument ç étant égal à fwo» on a donc

(XV ^ V — •'- W 1 , 7.2 t) = p — 2 0)3 ,

oi-Zv = tJoLV) — rt' — ir^i. -ûiy = X.X'^''-^) — "iv — 'r.a,

et l'on voit qu'efTeclivement les trois intégrales se confondent. D'après les principes du Calcul différentiel, on aura, en ce cas, deux nouvelles intégrales en prenant les deux premières dérivées,

par rapport à v, dans la première intégrale, par conséquent

•^ ' cru '

n = ri[^{u -^ v) -^ iip^'l

^3=^1 I— p(^<-^^^)-^^<pV-^[!;(«^-^')-t-^<p^']M• Il faut maintenant supposer r -~ |(0j, c'est-à-dire (p. 276 de ce Volume) jD (' = o, p' (' = — 1 .

Si l'on veut ne laisser subsister que les fonctions de 11 luimême, on emploiera les formules d'addition et l'on exprimera l'élément simple comme il a été fait déjà (p. 277); on obtiendra ainsi

intégrale complète de l'équation

y"-3pu.y—^{3p'[i- i)y = o

dans le cas particulier «o ^ o, i?"3= — i . 1