FRACTIONS CONTINUES ET I\TÉGR.\LES PSEUDO-ELLIPTIQUES

Préambule. — Equation récurrente. — Cas de périodicité. — Cas exceptionnel. — Fractions continues. — Addition d'une constante à l'indice. — Inversion de la fraction continue. — Fractions continues symétriques. — Forme des fractions

continues dans le cas exceptionnel. — Développement de — en fraction

continue. — Cas de la symétrie. — Développement de \/\. — ^/a^^x\ — Premier développement de y/X, \ étant du troisième degré. — Développement de ^\j X étant du quatrième degré. — Second développement de \J\, X étant du troisième degré. — Retour aux polygones de Poncelct. — Calcul des quotients incomplets. — Formules explicites pour le développement de ^\. — Cas où X est du troisième degré. — Expression générale des réduites. — Notions générales sur la convergence. — Étude de la convergence dans un cas particulier. — Ligne de convergence non uniforme. — Cas de la périodicité. — Remarques sur un autre cas particulier. — Les fractions continues, considérées comme des covariants. — Exemples. — Intégrales pseudo-elliptiques, en général. — Intégrales pseudo-elliptiques, tirées des fractions continues. — Intégrales pseudoelliptiques d'Abel. — Recherche générale des intégrales pseudo-elliptiques. — Exemples. — Autres exemples. — Conclusion.

Préambule.

Nous li'aiterons, dans ce Chapitre, du développemenl de y/X en fraction continue, X étant un polynôme du quatrième degré. « En voulant eflcctucr, dit Jacobi (-), les calculs algébriques qu'exige la recherche des quotients complets et, par suite, celle des dénominateurs de la fraction continue cherchée, on se trouve

0 cix (') A consulter : .Vcel, Sur l'inte^ralion de la formule différentielle ■ — ^>

R e< p étant des fonctions entières {Journal de C relie, t. I, et Œuvres complètes, t. I, p. lO'l ).

(') Note sur une nouvelle application de l'analyse des fonctions elliptiques à l'Algèbre {Journal de Crelle, t. 7, p. !\i, cl Gesaninielte Werke, t. I, p. 329).

arrêté, drs les premiers pas, par la longueur rebutante du calcul. En cfl'et, les expressions algébriques que l'on rencontre en opérant sur la racine proposée deviennent tellement embrouillées qu'il paraît être impossible d'y trouver une espèce d'ordre et de régularité. Et, comme il est extrêmement difficile de passer même au second ou troisième dénominateur, l'on ne pourra espérer d'autant moins de trouver par induction une loi générale. Toutefois, en approfondissant les relations qui lient entre eux les quotients complets successifs et en examinant, en même temps, la formation des expressions algébriques qui donnent la multiplication des fonctions elliptiques, on parvient à exprimer généralement, au moyen de ces dernières, par des formules simples et élégantes, un quelconque des quotients complets. » Après celte indication bien sommaire, Jacobi a donné, sans démonstration, des formules qui font effectivement connaître, par des fonctions elliptiques, la loi des quotients.

La considération des réduites, mieux que celle des quotients, montre immédiatement le lien qui unit cette théorie avec la multiplication de l'argument. Soit ^/X développé suivant les puissances ascendantes de ^ — ç, et déterminons deux polynômes G^, H^, le premier du degré m + i, le second du degré m — i, de manière que le développement de leur quotient G,„ '. H„j coïncide, le plus loin possible, avec celui de y/X. La coïncidence pourra aller jusqu'au terme de rang 2 m + i, en sorte que l'on aura

Prenant ensuite le polynôme G^^ — H^,^X, on y devra trouver le facteur (^ — C^a^+i . niais, comme ce polynôme est du degré lin -h -ij on aura simplement

C'est la loi suivie par cette fonction de m, ç,„ que l'on doit rechercher. Or le théorème d'Abel la fait connaître immédiatement: a et cim étant les valeurs de l'intégrale de i : y/X, prise à partir d'une racine de X, avec les limites q ou ^,„, on a, d'après ce théorème,

(2/n -+- i)a ± a„i = une période.