CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTIMES. S^J

On le voit, a„, est une fonction linéaire de m : c'est la multiplication de l'argument qui seule est en question ici. Pour avoir maintenant des formules explicites, il n'v a qu'à composer l'expression de G„, — H„, y X en termes elliptiques et dégager ensuite les autres éléments de la fraction continue. Ces explications guideront suffisamment le lecteur dans l'étude de ce Chapitre. Nous devons avertir que nous avons élargi le problème en introduisant un élément nouveau et considérant, au lieu de \/X, la fonction

Les formules de Jacobi supposent X décomposé en ses facteurs linéaires. Cette supposition , entièrement superflue , est écartée ici. Après avoir étudié en détail les fractions continues, nous parlerons de leur convergence, question nouvelle et digne d'intérêt. Nous parlerons enfin des inlégrdiies pseudo-elliptiques, que le génie d'Abel a su rattacher, de la manière la plus remarquable, aux fractions continues.

Équation récurrente.

L'étude que nous allons faire est basée sur la considération de la quantité

- , \j(a — M )]-'"-• 3'(» -^ 2ma -T- /?«• — u-)

oîi u est envisagé comme variable, ainsi que l'indice entier m. Le coefficient Cm est supposé indépendant de u; il ne joue, pour ainsi dire, aucun rôle et pourrait être remplacé par l'unité. Les propriétés que nous avons à envisager ne reçoivent, du fait de ce coefficient, que des altérations de pure forme. Il est cependant utile de l'introduire et de le choisir comme nous allons faire, pour éviter quelques détails de discussion, vraiment étrangers au sujet. A cet efl'et, en désignant par «, un argument constant et arbitraire, nous poserons

I l:^(n — «i )]*'«-• ^■Hu\-^inia-^mv — w) j( — «j — v-\-ima-T-mv — w)

IL Z-j

L'argumcnL 11, sera supposé Ici que C,,, ne devienne ni nul ni infini, a, v, w restant fixes et m prenant toutes les valeurs entières.

Nous devons insister sur ce fait que le choix de €,„ est simplement un moyen de faciliter l'analyse; il disparaîtra des résultats. On aperçoit immédiatement que, par ce choix, V,„ devient une fonction doublement périodique, de deuxième espèce, relativement aux arguments a, v, iv séparément, et que ses divers multiplicateurs sont indépendants de m. Comme, au surplus, les diverses fonctions V„j figureront par leurs rapports seulement, on pourra, à volonté, ajouter des périodes aux arguments sans rien chanirer aux fonctions elles-mêmes.

Par rapport à l'argument u, V„, est doublement périodique de deuxième espèce et ses multiplicateurs sont indépendants de l'entier /}i. En effet, il v a 2. m fonctions d en numérateur comme en dénominateur, et l'excès de la somme des racines sur la somme des pôles est {w — a).

Soit, comme au Cliapitre IV (p. i5i), z la fonction lype

et soit aussi z-a cette même fonction où u est remplacé par a, en sorte que z- — Za ait les racines a et — {a ■+- v). Posons

et entendons par a„j, |ji.,„, v,„ trois quantités indépendantes de «; puis envisageons la fonction a„iV,„( + PotV„j 2î qui a les multiplicateurs de V„j, les mêmes pôles avec le même ordre de multiplicité, et la racine u = a multiple d'ordre [o.m — 3) seulement. En choisissant le rapport de A„j et de v„j, on peut augmenter d'une unité l'ordre de multiplicité de cette racine; puis, en choisissant encore le rapport de \„i à [jl^, on peut obtenir l'ordre (2/« — i) de multiplicité. Quand il en est ainsi, la fonction est proportionnelle à Ym\ car la racine u=a^ multiple d'ordre {im — i), implique l'existence d'une dernière racine, commune avec \m- En conséquence, il existe trois fonctions de /??, indépendantes de u, telles que sij les dénommant "l^, 'j-mi "^m-, on

CHAPtTRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES. Oyg

forme cn'cc elles les quantités (2), on aura identiquement

Nous calculerons plus lard les (juanlilés ).,„, 'jl,„, v,„. Dans le cas particulier </ = o, l'analyse précédente est en défaut, z„ étant infini. On peut, en ce cas, poser

avec des coefficients encore indépendants de u. La fonction v^„V„,2-f- a',„^^w-i ■'^ 1^ racine ?^ = o, multiple d'ordre m — 3, et l'on peut élever cet ordre à m — 2 par le choix du rapport ^/n • '■'m- Ajoutant u'„jV,„,, qui a aussi la même racine, avec l'ordre m — a, on peut, par le choix du rapport A^^^ : jji^, porter cet ordre h. m — i , comme dans N m' H y a- dès lors, proportionnalité entre V^ et la fonction ainsi formée, puis égalité par le choix de A^. Ainsi, dans ce cas « = o, la relation (.S) a encore lieu, si l'on prend a„j et [3„j suivant les égalités (4). On prévoit ainsi, et le calcul permettra de le vérifier, que l'hypothèse « = 0 a pour conséquence de rendre infiniment petit v„,, infiniment grand A,« et de laisser fini pL,„, de telle sorte que v,„ c^, /.,„ — -jl^, Zn et ^m aient des limites finies, v^,^, u.^,^ et A^„.

Le cas particulier (^ ^ o présente cette circonstance que ^ et Za

sont infinis. Mais — a la limite finie J3rt — j)«. Pour ce cas,

on aura encore la relation (3), en supposant

61 'v«' r^L) '■'/« sont les limites de A„,, <.';^„i, (^-v„,.

On doit observer enfin que, si notre analyse suppose m positif, les conséquences subsistent quel que soit m. Multipliant, en effet, V„i, V,„,, S m 2 par un même facteur

on ramène ces trois fonctions aux hvpothèsos de la démonstration, et ce facteur disparaît dans lécjuation récurrente.

58o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Cas de périodicité.

Soit /• un nombre entier et supposons ?'[ia -\- v) égal à une période. Considérons V,„ et \mjf.r '• en altérant w d'une période, on voit que, dans \ m-\-ri le second facteur d du numérateur coïncide avec son homologue, pris dans \ ^ ; il en est de même pour les facteurs semblables dans le coefficient C^-i-r- I^e quotient V„,^rl ^m apparaît donc comme indépendant de m, en sorte que les quantités a„j et ,8,„ se reproduisent périodiquement. La période est composée de /• termes.

Les quantités ¥„,, V,,,^.^» V,„^27i • • • forment une progression géométrique. Si Ton supposait /• = i , la raison serait

et l'équation récurrente ne contiendrait plus que deux termes. On écartera ce cas, dénué d'intérêt.

Cas exceptionneL

L'équation récurrente présente une circonstance exceptionnelle quand une des fonctions V admet la racine u = a avec un ordre supérieur à celui qu'indique la forme générale (i). Supposons Vw) dans ce cas, ce qui arrive si l'on a

(6) in(yia -^ v) — a — v — w ^o.

Les coefficients v„j et ).,„ sont nuls. Ayant ^ m^ '^m^ ms-, il est clair qu'on ne peiit obtenir l'équation récurrente entre V^^^,, V„, et V,„i. L'analyse précédente le montre; car la combinaison linéaire a;;î+, V^-h [j^4., V,„,, qui doit avoir la racine a d'ordre supérieur à am — '>., se réduit identiquement à zéro. Si l'on regarde la relation (6) comme avant lieu par la variation d'un des arguments, on voit que a^^i et [Î^ot+i sont infinis. Entre les fonctions ultérieures, l'équation récurrente (3) a lieu, sans autre exception.

Pour éviter d'interrompre l'enchaînement des termes successifs, il convient, en ce cas, de supprimer V,„, de considérer V;,,^) et