CHAPITRE I. — FOIIMILES ELLIPTIQUES POLK LA ROTATION DES CORPS

Les séries doubles peuvent êlre remplacées par des séries simples, comme on Ta vu au Chapitre XIII du tome I, au moyen du groupement des termes par rapport à l'un des indices variables m, m', n, n' .

A peine est-il besoin de dire comment ces séries donnent explicitement les cosinus. Si Ton pose

(Gi) G' e~~^ ^ ~ = e'^^\

on aura, par exemple,

( — \Y cosax

= ÂY^) JT^V^ cosO'-+- 2^^"^ |^V«cos(0'4- mu) -^- cos(0'- m u; J j,

= VT^V-! ^ ^. sill6'-^aVg"^ V^'sin(Q'-i- mu)— :r^ sin(Q'— mu) •

Pour obtenir maintenant les développements analogues au moven de ^, au lieu de q, il n'est pas besoin de recommencer le calcul. Voici ce qu'on doit observer : si l'on met, dans les expressions (4o)> à la place de

CO, 10, 5a, s , Sr,, So, Su, s , S^,, S', U, V

respectivement

OJ, —10, So, — 5o, S^, —S-j, — I, S^, —5^ — 1, .S-^^. — 5„, V, U,

(jja et o)p s'échangent ainsi que u et v. Les droites a el b s'échangent donc. Les exposants «, b, c (4i) se remplacent par 6 h- i , a, c; la quantité G' se remplace par iG' (4i)- Si donc on pose

3o DEUXIÈJIE PARTIE. — APPLICATIONS.

on obtient

B(iOB'(U)

cosaz = ( — i)'*

(64) cos.. = ,-.;-^^,l^):

COS CZ = { — \f -r-, ,

cos^ax^i COS ay B"'(i', U)B'( U ) B'T(ti, IDBfti)

(— i)«G'e w * cos/Ar + icos/;iv A"'(u, U) A'( U ) A'^'(ii, U)A(b)

(65) { •ow 7u- Â^T^T^ - FI7Ô '

cosc.r-4-rcoscj G"Yt), U)C'(U) C'Uv, U)C(ti)

(,)c+iG'e w i ^

Par remploi de l'un ou l'autre des systèmes (5'^ et 5g ou 64 et 65), on peut, comme on sait, supposer q ou Çi inférieur à e~'^'= 0,04321 ....

Développement des angles d'Euler en séries.

Soit à calculer (cz^x) conformément à la formule (53). On a pour cela besoin de «!>„ argument de 3'(w'+ v'), c'est-à-dire

(66 ) ^c^ —. log -— ; T-^ •

L'égalité (36) de la page 4'^8 (t. I) donne ainsi

r, ?/'«>' /i — V2 \ v^ q"^ i V2'« . 6r= — . ^arclanir ^tt-coIu -4-27 — — — ^t sinmu.

Cet arc àc n'est indéterminé qu'à la circonférence entière près, non à la demi-circonférence, comme l'indiquerait la fonction arctang, qui y figure. C'est qu'en effet cette fonction s'y présente comme l'argument de l'imaginaire

-^T(i -V- V2) àinu -^ j'(i — V2) cosu) j

— ' — , = -f-, (i-v- V^jàinu^- j(i — V2)cosi