CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUIl LA ROTATION DES CORPS

Ainsi arctanj^f -colUJ a son cosinus du même signe que

sinll (V étant positif). De même, arctang / — tang 11) , qui va

apparaître, a son cosinus du même signe que cosll.

Voici d'abord les trois angles •1^, ^a, '%, exprimés chacun de deux manières :

arctarii

cotu

j^mli

,'1— U2 arc tang ( — — -^ cotu

I— TJ2'«

, V yr I— I

■sinwiD ;

-^.- , arc tans; 1 -

rr„ tans» ) -^ 'X > —, ^,- — ^, — sin/n» ;

, r, f/ (' /l — ^2 \ -^ (—,)! gin , V2m

Vi= -^ arctang ,., tangu -f- 2 >. — ^ ^— — ,-, sinmu

lm(i — ^',") U'

Dans la seconde expression de •le-, le terme - provient de ce que, en intervertissant u' et t'', on doit écrire

far \ I ' 1 r ^(v'~li')\ I , a'Cp' -+-?«'

(6Ca) d/t= - .log ^ ^ =— . log— 7-, ,

sauf un multiple de la demi-circonférence. Mais, si l'on suppose et, par conséquent, U ^= u = ^1 les deux fonc-

lions arctang se réduisent à zéro, ainsi que les deux séries (<>7);

les deux expressions [(^6^ 66 a) se réduisent à -.7,(0' et - -(- -'^i'^,

quantités effectivement égales entre elles.

Le calcul des séries pour les trois angles [cz, a), {az, b), (Oz, c) donne lieu à des réductions remarquables. Pour les développer

Sa DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

avec clarté, nous prendrons quelques formules inlermédiaires en développant les quatre fonctions suivantes :

-^ ^ Il '^ a-iu' — i'')a'i {il —V )

f (u,v)= — . log ——, ,' , ,, ,. '

•il a^{u — i-)^i(u-\-i')

c(u ,v )= —. lofr — ^ 7^ ^ — ; 7- 5

li ° J 3 (. u — v') j o ( u' -^ i>')

Avec les notations actuelles (56), les séries de la page 4^8 (t. I) donnent, pour les fonctions, les développements suivants :

/n = -2, 4- 6, . . . , /i — I, 3, 5, ... . f(u,v)= — : i- arc taiiir ^^ cotait )

-)- 2 > - — ^^ ;— , — =-^; sinawu,

/ ( u , t^ ) = arc lang — ;pr; ■.

V^ r/-" I— Vi« .

H- 2 > ; ï^^; Sm2rtU,

, , ir.u'v' V^ cr'" 1 — V*'" .

'^ ' ^ iM j^r)i(f — q-^"') \2'" '

o ( w , i^ ) = 2 7 — ; — -— -^r— sin 2 rt U .

Si l'on prend la somme /'(m', p') — '-^'{u', v'), en réunissant les deux séries terme à terme, on a, dans le coefficient du terme général, la réduction suivante :

qin qn ^qii ( ^ ^.^ ri") ^ qii

Des réductions analogues ont lieu dans les autres combinaisons